Homomorphisme d'anneaux

courage
Modifié (March 2023) dans Algèbre
Bonjour tout le monde, des suggestions si vous voulez. Je vous remercie.
Soit $K$ un corps, $n \geq 2$ et $R=K< a,b \mid a^n=0>$  (the free algebra generated by noncommuting indeterminates $a,b$ over $K$). On considére $T_2(R)$  (l'anneau des matrices triangulaires supérieures).
Est-ce qu'on peut construire un homomorphisme surjectif de $T_2(R)$ dans $R$ ?

Réponses

  • L'ensemble $I$ des matrices de la forme $\left(\begin{smallmatrix}*&*\\0&0\end{smallmatrix}\right)$ me semble être un idéal bilatère et le quotient $T_2(R)/I$ a l'air d'être isomorphe à $R$ – et ceci pour n'importe quel $R$ d'ailleurs. Me gouré-je ?
  • Le morphisme $\left(\begin{smallmatrix}x_{1,1}&x_{1,2}\\0&x_{2,2}\end{smallmatrix}\right)\mapsto x_{1,1}$ fait l'affaire aussi.
  • Bonjour, raoul.S  pourquoi $x_{1,1}$ et pas $x_{1,2}$ ou $x_{2,2}$ ?
  • Avec $x_{2,2}$ ça marche aussi mais pas avec $x_{1,2}$... pour le voir c'est facile, tu prends la définition de morphisme d'anneau  et tu vérifies que tout fonctionne avec $x_{1,1}$ et $x_{2,2}$ mais pas avec $x_{1,2}$.
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