Convergence d'une suite de variables aléatoires

Alban_ · March 2023

Bonjour,
j'ai une question mais je ne sais pas du tout comment l'attaquer. Au départ, j'ai pris une liste d'entiers et j'ai remplacé chaque élément par la moyenne de 3 éléments, lui-même et les deux éléments adjacents dans ma liste. En appliquant cette transformation un grand nombre de fois, je tombe sur la liste nulle.

En termes plus propres, je choisis $X_1,\dots ,X_n$ des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Puis, pour tout $i$, je pose $Y_i^0 = X_i$ et $Y_i^k = 1/3(Y_{i-1}^{k-1},Y_i^{k-1},Y_{i+1}^{k-1})$ pour tout $k\geq1$ (avec la convention $X_0=X_n$ et $X_{n+1}=X_1$, ce qui revient à dire que les premières et dernières cases de ma liste sont adjacentes). Que peut-on dire de la convergence de la suite de vecteurs aléatoires $(Y_1^k,Y_2^k,\dots ,Y_n^k)_{k\geq0}$ ?

Numériquement et en choisissant que mes va suivent une loi uniforme sur un intervalle d'entiers fixé, ça a l'air de tendre vers le vecteur nul. Mais je ne précise pas le mode de convergence, je ne sais pas comment le prouver, ni si cela va être vrai pour d'autres lois. Je dirais bien que ça ressemble à une histoire de loi des grands nombres (donc on peut supposer mes va initiales sont L^1 si ça nous arrange) mais je ne vois pas du tout comment écrire ça.

Lucas · March 2023

C'est étrange ton truc : la somme de la liste est conservée à chaque étape non? Comment est-ce que ça pourrait converger vers la liste nulle? Ca ne converge pas plutôt vers $(X_1+\dots +X_n)/n$ (qui est aléatoire) ?

Izolg · March 2023

Bonjour,

En notant $Y^k=\begin{pmatrix}Y^k_1 \\ \vdots\\ Y^k_n\end{pmatrix}$, alors on a $Y^{k+1} = AY^k$ avec $A$ une jolie matrice $n\times n$.

Avec une étude des fonctions propres et des valeurs propres de $A$, on obtient la convergence de $Y^k$ lorsque $k\to \infty$ vers quelque chose qui dépend de $Y^0=(X_1,\dots,X_n)^T$.

Bonne journée

lourrran · March 2023

Si n vaut 3, c'est trivial, on peut calculer les 3 termes après 1 étape, et on constate que ...
Si n vaut 4, on peut calculer les 4 termes après 2 étapes, et on constate que ...
Si n vaut 5, on peut calculer les 5 termes après 3 étapes, et on constate que ...

GaBuZoMeu · March 2023

Bonjour,

@lourran, je crois que tu t'es laissé emporter. Si n vaut 4, les 4 termes ne sont en général égaux ni après 2 étapes, ni après 3, ni après 4 ... bref, jamais.

Mais la variance est divisée par 3 à chaque étape.

lourrran · March 2023

Ils ne sont pas égaux, mais on a une suite géométrique. Et idem pour n=5, et très certainement pour n>5
J'aurais dû laisser mon message dans sa version initiale, où le cas n=3 n'était pas mis sur le même plan que les autres.

GaBuZoMeu · March 2023

Où ça, la suite géométrique ??

Izolg · March 2023

@GaBuZoMeu Moi je ne vois pas la variance de quel objet est divisée par 3 à chaque étape ? Sinon de mon point de vue la dynamique du problème est déterministe, on s'est donné des conditions initiales aléatoires pour faire joli.

lourrran · March 2023

Avec 4 termes $a,b,c,d$, au 2ème tour, $b$ est remplacé par $\frac{a+b+c}3=-\frac d3$ parce qu'on nous dit que la moyenne est nulle. Et de manière similaire pour les 3 autres termes. Au 2ème tour, $b$ est remplacé par $\frac b9$, et idem pour les autres termes.
L'opération 'faire 2 fois la manip' est donc une "réduction" de facteur $1/9$
Si on enlève l'information 'la moyenne est nulle', on tombe sur une suite arithmético-géométrique, c'est à dire à peu près la même chose.

GaBuZoMeu · March 2023

C'est la variance de $x_1,\ldots,x_n$, ou la somme des carrés des écarts à la moyenne (constante), qui est divisée par 3 à chaque étape.

Izolg · March 2023

Donc ta variance est $s_k =\sum_{i=1}^n (Y_i^k-\overline{X})^2$ où $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i^k$ c'est ça ?

Dans ce cas notons que $s_k$ est une variable aléatoire.

En revanche, si par exemple $n=3$, et la réalisation de l'aléatoire donne $(X_1,X_2,X_3)=(0,0,1)$, alors $s_0=2/3$ mais $s_1=0$.

Même si tu prend $s_k$ en espérance je ne vois pas pourquoi cette variance serait divisée par $3$ à chaque étape (les $(Y^k_i)_i$ sont très corrélés lorsque $k\geq 1$, en particulier on n'a pas $Var(Y^{k+1}_i) = 1/3Var(Y^k_i)$). Je dois passer à côté de quelque chose...

GaBuZoMeu · March 2023

Au temps pour moi, je me suis fichu dedans avec les doubles produits ! Pas de suite géométrique ici non plus.

Alban_ · March 2023

Effectivement, je me suis loupé en calculant numériquement mes suites de listes : je calculais chaque nouvel élément de la liste avec les nouveaux éléments au lieu de garder en mémoire la liste de l'étape précédente.

La matrice qui me permet de passer d'une étape à une autre va avoir trois 1/3 par ligne et des 0 ailleurs, donc je vais pouvoir faire converger la suite de ses puissances si je ne dis pas de bêtise. Je regarde ça plus précisément

Convergence d'une suite de variables aléatoires

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