Sommes d'inverses de plusieurs nombres premiers

Je ne sais pas si la  somme de @Bibix est  spéciale pour les nombres premiers, car on a plutôt $$2\sum_{1\le i\lt j\le n}\frac{1}{ij} = \Big(\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}\Big)^{\!2}- \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2}.$$

Les notations ne sont pas claires, mais je pense que le demandeur souhaite une formule asymptotique pour la sommation "triangulaire"
$$S(x) := \sum_{p \leqslant q \leqslant x} \frac{1}{pq}$$
où, comme d'habitude, une somme indicée par $p$ ou $q$ ne porte que sur les nombres premiers. Par symétrie, on peut se ramener à une sommation "rectangulaire" : 
$$S(x) = \frac{1}{2} \left( \sum_{p \leqslant x} \sum_{q \leqslant x} \frac{1}{pq} + \sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p^2} \right).$$
On connait bien, depuis Mertens (1874), les estimations pour la sommation "rectangulaire" : si $B \approx 0,26149 \dotsc$ est la constante de Mertens, alors on obtient
\begin{align*}
   S(x) &= \frac{1}{2} \left( \left( \log \log x + B + O \left( \frac{1}{\log x} \right) \right)^2 + \sum_p \frac{1}{p^2} +  O \left( \frac{1}{x\log x} \right) \right) \\
  &= \frac{1}{2} (\log \log x)^2 + \frac{1}{2} \left( B + \sum_p \frac{1}{p^2} \right) + O \left( \frac{\log \log x}{\log x} \right).
\end{align*}
La constante vaut à peu près 
$$B + \sum_p \frac{1}{p^2} \approx 0,713 \dotsc$$
Pour finir, notons que l'on a aussi des résultats pour la sommation "hyperbolique"
$$\sum_{p_1 \dotsb p_k \leqslant x} \frac{1}{p_1 \dotsb p_k}.$$
Je peux donner cette estimation si ça intéresse quelqu'un, mais ce n'est pas tout à fait le sujet demandé ici.