Élément régulier

courage
Modifié (March 2023) dans Algèbre
Bonsoir à tous, j’ai une question si vous voulez. Merci à vous.
Dans un anneau. soit $a$ un élément régulier.
1) Si $ab$ est nilpotent alors $b$ est nilpotent.
2) Si $b$ est nilpotent alors $ab$ est nilpotent.
Je suis arrivé à voir le 1). Mais la deuxième, je ne sais pas si elle est vraie ?

Réponses

  • NicoLeProf
    Modifié (March 2023)
    Bonjour,
    je crois que la 2) n'est pas toujours vraie. Voici un contre-exemple pour des matrices de $M_2(\mathbb{C})$ .
    Je prends $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ on vérifie facilement que $A$ est un élément régulier de $M_2(\mathbb{C})$ (ie : $A$ non nulle et non diviseur de $0$).
    Je considère $B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ qui est nilpotente car $B^2=0$ .
    Mais $AB$ n'est pas nilpotente car $0$ n'est pas la seule valeur propre de $AB$ (il y a $1$ aussi).
    Sauf erreur de ma part, cela fournit un contre-exemple à la proposition $2$.
    Par contre, j'aimerais bien avoir ta preuve de 1) : j'ai cherché un peu, j'ai du mal à voir comment le démontrer proprement ! ^^'
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • Bonsoir NicoLeProf si $ab$ est nilpotent alors $(ab)^n=a^nb^n=0$ pour un certain $n$, il s'ensuit que $b^n=0$ puisque $a^n$ est régulier.
  • Tu travailles dans un anneau commutatif ?
  • À priori, oui. 
    Notons que dans un anneau non commutatif, la première propriété est aussi fausse
  • courage
    Modifié (March 2023)
    Bonsoir
    Poirot, Non, un anneau quelconque (pas forcément commutatif).
    Titi le curieux
    Pourquoi les deux assertions sont fausses dans un anneau non commutatif ? ( quel est le rôle de la commutativité ici ?)
  • courage a dit :
    $(ab)^n=a^nb^n$ pour un certain $n$
    Cette relation est fausse en général si l'anneau n'est pas commutatif !
  • Math Coss Oui, je viens de le voir, Merci. Sinon, si $a$ est un élément régulier central (qui commute avec les éléments de $R$) ça marche.
  • courage
    Modifié (March 2023)
    Titi le curieux Est-ce que je peux avoir une petite indication pour la preuve de la deuxième assertion (dans le cas commutatif). Merci.
  • courage a dit :
    Bonsoir NicoLeProf si $ab$ est nilpotent alors $(ab)^n=a^nb^n=0$ pour un certain $n$, il s'ensuit que $b^n=0$ puisque $a^n$ est régulier.
    Je comprends mieux, tu supposes que l'anneau est commutatif ici. Cela devient clair et la 2) est vraie aussi dans ce cas. Sinon non : ni la 1) ni la 2) ne sont vraies. 
    La preuve de 2) est similaire dans ce cas précis : $(ab)^n=a^n b^n$ (si on suppose l'anneau toujours commutatif) et cela donne $0$ en notant $n$ l'indice de nilpotence de $b$. Pas besoin d'avoir $a$ régulier ici je pense (ce qui est important ici est la propriété d'absorption de $0$), on pourrait même travailler dans un anneau non commutatif mais supposer que $a$ commute avec tous les éléments de l'anneau considéré.
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


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