Intégrale retorse

Quelle merveille ce Forum, merci Hehehe. Réponse approximative pour JLapin : il faut que tu saches ce qu'est une mesure aléatoire de Dirichlet. Le cas particulier dont on a besoin est le suivant. Sur [0,1[ on démontre l'existence d'une probabilité aléatoire $P$ telle que pour tout $n$ les $n$ variables aléatoires $X_j=P([j/(n+1),(j+1)/(n+1)[$ (avec $j=1,\ldots,n)$ suivent la loi de Dirichlet de densité $$C[(1-x_1-\cdots-x_n)x_1\ldots x_n]^{-n/(n+1)}.$$

La théorie générale des ces bestiaux montre que la densité de la variable aléatoire $X=\int_0^1xP(dx)$ est exactement $$f(x)=\frac{e}{\pi}\times \frac{\sin \pi x)}{x^x(1-x)^{1-x}}.$$

La référence de Hehehe donne aussi $\int_0^1x^x(1-x)^{1-x}\sin (\pi x)dx=\frac{\pi e}{24}.$ Voilà qui est bien extraordinaire, à moi de chercher une démonstration probabiliste !