convergence d'intégrale

ted · January 2006

Soit f une fonction continue intégrable sur [0,$\infty$[ et g une fonction continue et bornée sur [0,$\infty$[ qui ne change pas de signe. Peut conclure à la convergence de fg sur ce même intervalle ?
Merci d'avance

Olivier Guin · January 2006

Je dirais oui : on peut, par exemple, écrire :
$$\int_{0}^{+\infty}f(t)g(t)dt=
\int_{A}f(t)g(t)dt+\int_{B}f(t)g(t)dt$$
où $A=f^{-1}([0,+\infty[)$ et $B=f^{-1}(]-\infty,0])$

Olivier.

ted · January 2006

Oliver : pour pouvoir écrire cela (Chasles), ne faut-il pas que fg ait une intégrale convergente ?

Olivier Guin · January 2006

Et bien, $fg$ a une intégrale convergente sur $A$ et une intégrale convergente sur $B$, donc a une intégrale convergente sur la réunion des deux, i.e. sur $[0,+\infty[$.

bisam · January 2006

Pourquoi se casser la tête ?
Si f est intégrable et g bornée par M alors |fg|<=M|f| et M|f| est intégrable donc fg est intégrable !

On ne se sert pas de la continuité, ni du fait que g ne change pas de signe.

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