Sous-groupes de (Z,+)
Bonsoir,
Un exercice que j'ai trouvé sur le net dont je ne dispose pas de corrigé. J'aimerais savoir s'il n'y a pas d'erreur.
1) Quels sont les sous-groupes de $(\Z,+)$ ?
2) Déterminer tous les sous-groupes de $(\Z,+)$ contenant $12 \Z$.
3) Soient $(m,n) \in \N^{*} \times \N^{*}$. Que vaut $m \Z \cap n \Z$ ?
1) Ce sont les $n \Z$ avec $n \in \N$.
2) Soit $H$ un tel sous-groupe. Alors il est de la forme $n \Z$ tel que $n \Z \subset 12 \Z \iff 12 \mid n $.
Ce sont donc les $12 \Z, 24 \Z, 36 \Z, \cdots$
3) Si $m=n$, alors $\boxed{m \Z \cap n \Z= m \Z}$.
Si $m>n$ :
Un exercice que j'ai trouvé sur le net dont je ne dispose pas de corrigé. J'aimerais savoir s'il n'y a pas d'erreur.
1) Quels sont les sous-groupes de $(\Z,+)$ ?
2) Déterminer tous les sous-groupes de $(\Z,+)$ contenant $12 \Z$.
3) Soient $(m,n) \in \N^{*} \times \N^{*}$. Que vaut $m \Z \cap n \Z$ ?
1) Ce sont les $n \Z$ avec $n \in \N$.
2) Soit $H$ un tel sous-groupe. Alors il est de la forme $n \Z$ tel que $n \Z \subset 12 \Z \iff 12 \mid n $.
Ce sont donc les $12 \Z, 24 \Z, 36 \Z, \cdots$
3) Si $m=n$, alors $\boxed{m \Z \cap n \Z= m \Z}$.
Si $m>n$ :
- Si $n \mid m$ alors $m \Z \subset n \Z$ donc $\boxed{m \Z \cap n \Z= m \Z}$.
- Si $n$ ne divise pas $m$, alors $m \Z$ n'est pas inclus dans $n \Z$. De plus, $m$ ne divise pas $n$ alors $n \Z$ n'est pas inclus dans $m \Z$. Finalement $\boxed{m \Z \cap n \Z= \emptyset}$.
Réponses
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Dans la 3) il y a une grossière erreur : $m \Z \cap n \Z= \emptyset$.
L'intersection de deux sous-groupe n'est jamais vide car elle contient toujours au moins un élément qui est... ?
Ça c'est l'erreur grossière. La deuxième erreur est celle que tu feras en corrigeant ta réponse après avoir lu mon message
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Je suis très surpris du niveau des questions que se posent OShine. Je le suis depuis ses débuts...
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@Xavier Var
Je pose des questions plus bêtes que les autres ?
@raoul.S
Oui j'ai écrit une bêtise, on peut avoir $A$ non inclus dans $B$ et $B$ non inclus dans $A$ mais $A \cap B \ne \emptyset$.
Je ne sais pas comment résoudre cette dernière question, j'ai eu cette idée mais je n'en ai pas d'autres. -
Un coup c'est du ENS, la c'est du B-A-B-A licence 1...
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Hello OS,
L'intersection de $2\mathbb{Z}$ avec $3\mathbb{Z}$ vaut-elle $\varnothing$ ?
Ta réponse n'est sans doute pas... idéale !
Jean-éric.
PS fais gaffe quand même, a bien réfléchir à la rectification, tu peux regarder $4\mathbb{Z}\cap 6\mathbb{Z}$ aussi. -
L'intersection de deux sous-groupe contient toujours l'élément neutre, elle ne peut donc pas être vide. De plus $m \Z$ est l'ensemble des multiples de $m$ et idem pour $n \Z$, donc $m \Z\cap n \Z$ est l'ensemble des multiples commun à $n$ et $m$... etc.
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Ok merci. On a : $m \Z \cap n \Z= PPCM(m,n) \Z$.
En effet les multiples de $m$ et $n$ sont les multiples du $ppcm(m,n)$.
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Après être devenu un expert du Liret et s'en être allégrement gaussé un peu partout sur le forum, on revient aux fondamentaux
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De toute façon je vais revoir les fondamentaux, je vais réétudier tout le cours de L1-L2 dans le Rombaldi, j'ai commencé par les ensembles.
Pour dominer les notions il faut les revoir plusieurs fois. -
On est bien d'accord que la réponse à la question 2) est complètement fausse.Ne pas confondre "contenant" et "contenu dans" !!
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Bonour,
En résumé, n'importe quoi à $2$ questions sur $3$, sur des choses élémentaires.
Cordialement,
Rescassol
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J'ai trouvé ça dans une feuille d'exo de L3.
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Je rectifie mon erreur, on cherche les sous-groupes $H \subset 12 \Z$ tel que $12 \Z \subset n \Z$. Or $H$ est de la forme $n \Z$ donc on veut $12 \Z \subset n \Z$ ce qui signifie que $n \mid 12$.
Ce sont donc : $\Z, 2 \Z, 3 \Z, 4 \Z, 6 \Z , 12 \Z$. -
Oshine, si tu vises l'agreg interne vaut mieux que tu commences à plancher les leçons. Tu es à mon avis dans la limite de l'admissibilité et je pense pas que les derniers admissibles aient un bien plus gros niveau que toi.
Tout va se jouer sur les leçons et développements d'après moi qu'il va falloir que tu maitrises correctement si tu veux tes chances.
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@llorteLEG
Merci pour ton avis.
Je devrais arrêter de faire des écrits et travailler le cours et les leçons ? -
D'après moi, oui
Je pense que continuer à faire des sujets pendant des mois et des mois ça va peut-être te faire monter ta note à l'écrit d'un ou deux points maximum. Soyons réalistes tu ne vises pas le 15 à l'écrit.
Alors que tu pars de quasi zéro sur les oraux pour le moment et qu'il y a des dizaines de leçons à connaitre dont des tas qui sont déjà à ta portée.
Les candidats à l'interne en moyenne ont du mal à l'écrit ça fait longtemps qu'ils ne sont plus plongés dans les concours c'est sur l'oral que les candidats moyens se concentrent. -
Ah d'accord merci.
En fait je ne fais pas des écrits pour viser 15, je fais des écrits pour tester mes capacités de réflexion, m'entraîner à chercher des questions.
Je ne vise pas de note, mais je me dis qu'avoir 8-12 serait pas mal.
Mais peut être chercher les écrits de cette année suffit, puis je continue ensuite à étudier le cours et les leçons.
Parfois je me demande pas si c'est mieux de faire un écrit de l'X par mois pour maintenir un certain niveau à l'écrit, et le reste du temps étudier les leçons.
Le problème des sujets de l'interne c'est qu'ils sont interminables. Il faut 20 heures pour les faire.
Alors que les sujets de Polytechnique, 5-8 heures suffisent avec un corrigé. Ils ne sont généralement pas trop long et contiennent des questions similaires, la question sur la formule de Legendre est tombée à X MP 2021 dans les préliminaires.
Il y avait beaucoup de groupes et d'arithmétique aussi dans ce sujet de l'X.
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Laisse tomber les sujets Polytechnique, tu ne sais pas les faire et l'interne moyen non plus.
Prépare les oraux, c'est tout ce que je te conseille. Si tu vises le 8-12 à l'écrit c'est déjà pas mal, mais dans ce cas il vaut mieux assurer derrière les oraux et pas te prendre un double 4 -
Les sujets de l'interne il y a beaucoup de questions accessibles....
Je reprends les bases avec les L1-L2 de Mr Rombaldi, d'ailleurs dans son livre d'algèbre il explique bien que $a \Z \cap b \Z = PPCM(a,b) \Z$ ce qui n'est pas dit dans tous les livres.
Quand je les aurai terminé, je prendrai le Rombaldi Algèbre pour l'agrégation qui contient plein de leçons, et le livre "éléments d'analyse réelle" toujours de Rombaldi qui contient plein de choses intéressantes comme l'accélération de convergence, les points fixes, les équations fonctionnelles, les polynômes orthogonaux. -
Un vrai comique ce Oshine !!
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"Oshine, si tu vises l'agreg interne [...]. Tu es à mon avis dans la limite de l'admissibilité" 😂
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Bonjour!
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