Permutation des termes d'une série semi-convergente

Bonsoir, on peut permuter les termes d'une série absolument convergente, et on obtient alors la même somme, par contre ce résultat est faux pour une série semi-convergente.
Mon livre dit qu'en permutant les termes d'une série réelle semi-convergente, on peut obtenir :
- pour tout réel $l$, une série convergente de somme $l$,
- une série divergente dont les sommes partielles tendent vers $+\infty$ ou $-\infty$.
Par exemple pour la série semi-convergente $\sum_{n \in \N} \frac {(-1)^n}{n+1}$ (de somme $\ln 2$), auriez-vous un exemple d'une permutation des termes de cette série qui donne une série convergente de somme $1$ par exemple, et une de somme $\pm \infty$ ?
Merci d'avance.

Réponses

  • JLapin
    Modifié (December 2022)
    Pour la somme infinie, prend 1 terme positif, un terme négatif, 2^1 termes positifs, 1 terme négatif, $2^2$ termes positifs, etc.
    J'imagine que ça va diverger vers $+\infty$. Sinon, remplacer les puissances de $2$ par des tours de puissances de $2$ : ça devrait marcher !
    Pour la somme égale à $1$, je doute qu'il existe une explicitation simple.
  • Poirot
    Modifié (December 2022)
    Pour $+\infty$ c'est facile, tu sommes deux termes positifs successifs, puis un terme négatif pas encore utilisé. Même idée pour $-\infty$.

    Pour $1$, ou n'importe quelle autre limite réelle, l'idée est dans la preuve du théorème de réarrangement de Riemann : tu sommes tous les termes positifs jusqu'à dépasser $1$, puis tous les termes négatifs jusqu'à passer en-dessous de $1$, puis tous les positifs restants jusqu'à dépasser $1$, etc.
  • Le cas du réarrangement $\frac11-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\frac15-\frac1{10}\cdots$ est intéressant, car la somme initiale est divisée par $2$.
  • Julia Paule
    Modifié (December 2022)
    Super, merci beaucoup @Poirot.
    Pour la série qui diverge vers $+\infty$, on obtient une série de terme général $(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+2}-\frac{2}{n+3})$$ \sim \frac{2}{n}$ (ou bien la suite des sommes partielles se distingue en trois sous-suites selon le terme où on s'arrête, qui ont le même limite), qui diverge.
    Ok pour la série qui converge vers $1$.
    J'aurais pu y penser.
    En fait dans une série, l'ordre de sommation compte, mais on peut appliquer une associativité sur les termes (on peut regrouper les termes par 2, 3, etc...), et envisager les sous-suites de la suite des sommes partielles qui, si elles ont la même limite, donnent la limite de la série ?
    Par contre, pour sommer une famille, on peut le faire dans n'importe quel ordre (si cette famille est sommable bien sûr).
    @JLapin, on peut s'arrêter à 2 termes positifs pour un négatif, ça marche.
  • On peut aussi faire diverger en oscillant entre deux valeurs d’adhérence (éventuellement infinies) et dans ce cas on obtient un intervalle qui est l’ensemble des valeurs d’adhérence. 
  • @Julia Paule Je ne me souviens pas de ce qu'est une famille sommable, peux-tu en rappeler une définition?
  • En effet, merci @john_john On a : $\frac{1}{n} - \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+2}=\frac{1}{2} (\frac{1}{n}- \frac {1}{n+1})$. Cela me dit quelque chose, j'ai déjà dû le voir, mais oublié.
    Ah les révisions, ce n'est pas ce que je préfère faire, je préfère la découverte. Mais cette fois-ci, je vais me l'écrire quelque part.
  • Une suite $(a_n)_{n\in\N}$ est sommable si la série $\sum |a_n|$ est convergente.
    Lorsque l'ensemble d'indexation est un ensemble quelconque à la place de $\N$, la définition est plus compliquée.
    Par exemple, si $(a_i)_{i\in I}$ est une famille de complexes, elle est dite sommable s'il existe $M>0$ tel que pour toute partie finie $J$ de $I$, on ait $\sum_{i\in J} |a_i|\leq M$.
    Après, il reste à définir la somme d'une famille sommable, ce qui n'est pas si simple.
  • Julia Paule
    Modifié (December 2022)
    @Alain24, en français, une famille de réels positifs est sommable si l'ensemble des sommes des éléments de toute partie finie de la famille est majoré. Sa borne supérieure est alors appelée la somme de la famille.
    Puis une famille de réels (ou de complexes) est sommable si la famille des valeurs absolues (ou des modules) des éléments de la famille est sommable.
    Cela permet de sommer les termes d'une famille dans n'importe quel ordre, de faire des permutations, des changements d'indice, etc ..., et aussi d'avoir un ensemble d'indices (de la famille) autre que $\N$ (par exemple, $\Z$, $\N^2$, ...).
  • @JLapin As tu un exemple de famille sommable indexée par les nombres réels ou complexes qui n'est pas une famille nulle sauf sur un ensemble dénombrable ?
  • Non, ça n'existe pas.
  • Alain24
    Modifié (December 2022)
    JLapin
    Dans ce cas écrire la somme d'une famille sommable c'est supposer que toutes les sommes de termes non nuls convergent vers la même valeur indépendamment des réarrangements de termes.
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Non, il ne faut pas le supposer : il faut le démontrer à partir de la définition. Ce n'est vraiment pas si simple.
  • C'est $(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+2}-\frac{2}{n+3}) \sim \frac{4}{n^2}$, la série est convergente, cela ne va donc pas @Poirot pour l'exemple d'une série divergente vers $+\infty$.
  • Je crois que tu n'as pas le bon terme général. Ecris en plusieurs pour voir le motif général.
  • Julia Paule
    Modifié (December 2022)
    Pour ta série @JLapin : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2400897/#Comment_2400897, j'obtiens comme terme général $\frac{1}{n^2-n+1}+\frac{1}{n^2-n+3}+\cdots+\frac{1}{n^2+n-1}-\frac{1}{2n}$, avec $n$ termes positifs pour $1$ terme négatif, $=\frac{n}{n^2}-\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n}) \sim \frac{1}{2n} $, cela diverge, donc c'est bon pour la série divergente vers $+\infty$.
    Pour la série de Poirot, que signifie "écris en plusieurs" ? J'ai déjà revu plusieurs fois le terme général.
  • C'est un peu rapide comme recherche d'un équivalent quand le nombre de terme de la somme dépend de $n$...
    Tu ne veux pas reprendre l'exemple plus simple avec 2 termes puis 1 terme ?
  • Julia Paule
    Modifié (December 2022)
    Mais 2 termes puis 1 terme ne marche pas puisque ça converge.
    Je ne vois pas le problème pour l'équivalent, car chaque terme positif s'écrit $\frac{1}{n^2}+ o(\frac{1}{n^2})$ et il y a en $n$, cela donne $n(\frac{1}{n^2}+ o(\frac{1}{n^2}))=\frac{1}{n} + o(\frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}$.
    Bon je vais revoir une nième fois le TG de la série 2 termes positifs pour 1 négatif.
  • Pour le TG de la série 2 termes positif pour 1 négatif, les 2 termes positifs sont $\frac{1}{n}$ et $\frac{1}{n+2}$ et le terme négatif suivrait immédiatement le 2ème terme positif, cela ferait $-\frac{1}{n+3}$, sauf qu'il faut diviser par 2 parce qu'il y a deux termes positifs pour 1 négatif, cela donne $-\frac{1}{\frac{n+3}{2}}=-\frac{2}{n+3}$. Je ne vois pas d'erreur, j'ai beau revoir.
  • En fait je me rends compte que j'ai mal interprété ta série, JLapin, j'ai pris 1 terme positif, puis 2, puis 3, etc... pour 1 terme négatif. Mais ce n'est pas génant puisque cette série marche comme exemple d'une série divergente.
  • rakam
    Modifié (December 2022)
    On peut aussi utiliser la permutation $\sigma$ :
    $$\sigma(0)=0;\;\forall n\in\N,\,\forall k\in\{0,\cdots,2^n-1\},\,\sigma(2^n+n+k)=2^{n+1}+2k,\,\sigma(2^{n+1}+n)=2n+1$$
    On montre facilement que la réciproque de $\sigma$ est définie par
    $$\theta(0)=0,\; \forall n\in\N,\;\theta(2n+1)=2^{n+1}+n,\;\forall n\in\N^*,\,\theta(2n)=n+\lfloor \log_2n\rfloor$$
    Et les tranches de Cauchy de $\sum u_{\sigma(k)}$ pour $2^n+n\leqslant k<2^{n+1}+n$ sont minorées en valeur absolue par $\dfrac14$
  • Julia Paule
    Modifié (December 2022)
    Plus précisément pour la série 2 termes positifs et 1 terme négatif, on a les 3 sous-suites de la suite des sommes partielles :
    $S_{3n}=\sum_{k=1}^n (\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}), S_{3n+1}=S_{3n}+\frac{1}{4n+1}, S_{3n+2}=S_{3n}+\frac{1}{4n+1}+\frac{1}{4n+3}$, toutes convergentes et de même somme, ce qui prouve la convergence de la série.
    En effet, $S_{3n}=\frac{1}{4} \sum_{k=1}^n (\frac{3}{4k^2-3k}+\frac{1}{4k^2-k})$, de terme général $\sim \frac{1}{4k^2}$.
    En prenant 3 termes positifs pour 1 terme négatif (et même quelque soit le nombre de termes positifs pour 1 négatif), la série converge, par exemple pour 3 termes positifs : $S_{4n}=\sum_{k=1}^n (\frac{1}{6k-5}+\frac{1}{6k-3}+\frac{1}{6k-1}-\frac{1}{2k})$, qu'on peut transformer en : 
    $S_{4n}=\sum_{k=1}^n [(\frac{1}{6k-5}-\frac{1}{6k})+(\frac{1}{6k-3}-\frac{1}{6k})+(\frac{1}{6k-1}-\frac{1}{6k})]$, somme de 3 séries convergentes.
    Par contre, en augmentant à chaque fois le nombre de termes positifs pris, la série diverge : les sous-suites de la suite des sommes partielles peuvent être prises à $S_{\frac{n^2+3n}{2}}, S_{\frac{n^2+3n}{2}+1}, \cdots, S_{\frac{n^2+5n+2}{2}}$ (sauf erreur).
    Bref, j'imagine que cela doit se trouver quelque part dans la littérature.
    Merci @rakam, je vais regarder ta série, mais c'est quoi les tranches de Cauchy, le fait qu'elles soient minorées par un nombre $>0$ signifie qu'elle diverge ?
  • JLapin
    Modifié (December 2022)
    "Julia Paule" 

    Oui, je suis maintenant d'accord avec tes expressions des sommes partielles.
    Ce qui me gênait au début c'est que les termes soustraits ont nécessairement un dénominateur pair, ce qui n'était pas le cas dans tes premières tentatives.
  • Math Coss
    Modifié (December 2022)
    Georges Skandalis donne une façon explicite d'obtenir n'importe quelle somme en réordonnant les termes de la série harmonique alternée. C'est dans son livre d'analyse pour l'agrégation interne (Calvage et Mounet).
    PS : Je copie, peut-être un peu approximativement. Il fait montrer plusieurs choses :
    • en faisant alterner $p$ termes positifs et $q$ termes négatifs, la série obtenue converge vers $\ln2+\ln\frac{p}q$ ;
    • si $y\in\left]0,1\right[$, on pose $p(n)=\lfloor ny\rfloor$ et $q(n)=n-p(n)$ ; on fabrique une permutation $\sigma$ de $\N^*$ telle que pour tout $n$, l'ensemble $\{\sigma(k),\ 1\le k\le n\}$ est formé des $p(n)$ premiers nombres impairs et des $q(n)$ nombres pairs ; on montre alors que la série $\sum\frac{(-1)^{\sigma(k)}}{\sigma(k)+1}$ converge vers $\ln2+\ln\frac{y}{1-y}$ ;
    • enfin, pour $x$ quelconque, on trouve $y$ tel que $x=\ln2+\ln\frac{y}{1-y}$.
    Edit : erreur de copie, il manque un facteur $1/2$ avant $\ln\frac{p}q$ et $\ln\frac{y}{1-y}$.
  • En effet @Jlapin, je n'étais pas assez précise dans le terme général des sous-suites.
  • Julia Paule
    Modifié (December 2022)
    Merci beaucoup @Math Coss C'est très intéressant, j'essayais justement de calculer la somme de la série $2$ termes positifs pour $1$ terme négatif, mais j'obtiens $\frac{3}{2} \ln 2$ (et ce devrait être selon le livre $2 \ln 2$).
    En effet, en transformant $S_{3n}$, on a : $S_{3n}=\sum_{k=1}^n (\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k-2} +\frac{1}{4k-2}-\frac{1}{4k} + \frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k})$
    $ = \sum_{k=1}^n (\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k-2} + \frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k})+ \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}) \rightarrow \ln 2 + \frac{1}{2} \ln 2$.
  • @Julia Paule : une "tranche de Cauchy" est simplement la différence de deux sommes partielles et, pour une série convergente, on doit pouvoir les majorer par $\varepsilon$ à partir d'un certain rang...
  • bonsoir, dans mon souvenir, ce problème est traité assez clairement dans le Valiron (Masson 1966): Théorie des fonctions page 39...
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Avec une petite simulation, c'est bien $\dfrac{3}{2} \ln 2$ la somme de la série alternée permutée en 2 termes positifs pour 1 terme négatif. Erreur de recopiage ?
  • Gilles Benson, je n'ai pas ce livre en ma possession, merci quand même.
  • @rakam, après voir étudié ta permutation, il me semble que c'est la même que celle proposée par JLapin (sauf peut-être les tous premiers termes) à savoir qu'on intercale les termes positifs, dont le nombre double à chaque fois, par les termes négatifs, i.e. $\sum_{n=0}^N u_{\sigma(n)}=1 + \frac{1}{3} -\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}-\frac{1}{6}+\frac{1}{17}+ \cdots$.
    Les sommes positives sont minorées par $\frac{1}{4}$, donc avec les sommes négatives qui tendent vers $0$, on voit que la série va diverger vers $+\infty$.
    C'est facile à concevoir, plus difficile à écrire sous forme mathématique, et peut-être encore plus difficile à déchiffrer.
  • @Math Coss Peux-tu revoir la formule pour la série alternée permutée en $p$ nombres positifs et $q$ nombres négatifs du livre de Georges Skandalis que tu as donnée ici : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2401140/#Comment_2401140.
    En effet, je n'obtiens pas la même chose ici pour $p=2$ et $q=1$ : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2401173/#Comment_2401173.
    Merci d'avance.
  • math2
    Modifié (December 2022)
    @Julia Paule : si tu appliques l'associativité, tu vas me faire converger la série $\sum_n (-1)^n$ (en groupant deux à deux les termes consécutifs) - tiens d'ailleurs on peut obtenir $1$ ou $0$ selon où l'on commence le procédé !
  • Julia Paule
    Modifié (December 2022)
    @math2 On peut appliquer l'associativité à condition que la série soit absolument convergente, ou bien qu'elle soit seulement semi-convergente et que les sous-suites (deux ou plusieurs) de la suite des sommes partielles dont la réunion fait la suite, convergent vers la même limite, ce qui n'est pas le cas ici car la sous-suite des termes pairs est constante (donc converge) à $1$ et celle des termes impairs est constante (donc converge) à $0$.
    Tout ceci n'est pas expliqué dans mon livre, il faut le deviner par soi-même. De la même façon qu'il dit qu'on peut permuter les termes d'une semi-convergente et obtenir ce que l'on veut avec, sans donner d'exemples ...
    En gros, ce cours répond à des questions qu'on ne se pose pas, et ne répond pas aux questions qu'on se pose >:) . Voilà, cela me fait du bien de l'écrire ici.
    Je me rends donc compte (écrit nulle part dans ce cours) que même les séries semi-convergentes peuvent être sommées par paquets associatifs de termes qui se suivent, en donnant la même limite que la série initiale, quand cela est justifié avec deux (ou plusieurs) sous-suites qui recouvrent la suite des sommes partielles et qui ont la même limite. Cela est évident, c'est une propriété des suites, mais cela va mieux quand c'est dit.
    C'est ce qui permet d'écrire par exemple $\ln(2)=\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n+1}=\sum_{k=1}^{+\infty} (\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k})$.
  • Je n'avais pas compris, tu n'avais pas donné d' énoncé précis, et sans hypothèse l'associativité n'est pas correcte.
  • Merci. En général, l'associativité n'est pas correcte, mais elle peut l'être dans certains cas.
    Ah mais j'ai la formule que je cherche ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_réarrangement_de_Riemann : en faisant alterner $p$ termes positifs et $q$ termes négatifs, la série harmonique alternée converge vers $\ln(2 \sqrt{p/q})$. J'espère qu'il s'agit donc d'une erreur de recopiage.
  • En effet, vérification faite, ce qui est écrit par Skandalis est $\ln2+\frac12\ln\frac{p}{q}$.
  • Merci Math Coss. Bonne soirée à toi.
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