Questions de trigonométrie
Bonsoir
Je travaille actuellement le cours "Nombres complexes et trigonométrie" du professeur Christophe Bertault (lien du cours http://christophebertault.fr/documents/coursetexercices/Cours - Nombres complexes et trigonometrie.pdf ) et j'ai quelques questions.
Je travaille actuellement le cours "Nombres complexes et trigonométrie" du professeur Christophe Bertault (lien du cours http://christophebertault.fr/documents/coursetexercices/Cours - Nombres complexes et trigonometrie.pdf ) et j'ai quelques questions.
1) Ma première question est relative à la démonstration du théorème "Lien entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées polaires" page 6. Je n'ai pas compris sur quoi il s'appuie pour dire d'une part que "pour un certain $k \in \Z,\ \theta - 2k\pi\in ] -\pi/2 , \pi /2[$" et que d'autre part "Pour un certain $k \in \Z,\ \theta - 2k\pi\in]\pi/2,3\pi /2[$. Autre question par rapport à la démonstration de ce théorème : il est écrit à un moment " or $\tan(\theta - \pi -2k\pi ) = \tan(\theta)$". Est-ce que cette égalité est vraie parce que la fonction $\tan$ est $\pi$-périodique ou c'est pour une autre raison ?
2) Ces questions sont relatives à la démonstration de l'exemple "On cherche un argument de $-1+2i$" page 10. Est-ce qu'on peut m'expliquer pourquoi $-1+2i$ possède un argument dans $]\pi /2, \pi [$ ? Sur quoi il s'appuie pour affirmer que $\cos(\theta)=-1/\sqrt{5}$ ? Et sur quoi il s'appuie pour affirmer que $\sin(\pi - \theta) = 2/ \sqrt{5}$ ?
Merci d'avance.
[En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
Réponses
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Bonjour.
Peux-tu scanner le passage, car il n'y a aucune raison d'écrire cela pour un $\theta$ quelconque (je n'irai pas voir avec le lien non protégé que tu proposes) ?
Cordialement. -
Deux choses élémentaires :
a) $-1+2i$ se représente dans le plan complexe facilement avec un quadrillage.On voit alors que son argument (principal) est bien entre $\pi/2$ et $\pi$ (En gros, c’est en haut à gauche ).b) toujours dans ce même quadrillage, Pythagore peut aider pour faire apparaître ce $\sqrt{5}$. -
Bonsoir,à gerard0 : je n'ai pas de scanner chez moi. Est-ce que ça te convient si je poste sur le forum des photos des passages que je cite ?
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oui, tu peux envoyer des photos.
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Un document joint est toujours préférable à un lien externe, qui peut disparaître.
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Comme on a pas le droit de citer des messages, il suffit que l'auteur des messages supprime tous ses messages pour que ça disparaisse également (il y a pas mal d'exemples sur le forum, par exemple ici https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/1841908#Comment_1841908).Un document joint n'est donc pas beaucoup plus fiable qu'un lien externe.
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N'importe comment, qu'il cite ou copie, le message supprimé ne dit plus rien ...
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Voici les photos des 2 passages que j'ai cité:
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La première photo est relative à la question 1 et la deuxième photo est relative à la question 2.Dans la première photo il y a des mots qui n'apparaissent pas.Ligne 3 de la démonstration, à la fin de la phrase il est écrit: "or $\tan(\theta - 2k\pi) =\tan(\theta) = r\sin(\theta)/ r\cos(\theta) = y/x.$"Ligne 5 de la démonstration, à la fin de la phrase il est écrit: " donc $\theta - 2k\pi - \pi\in ]-\pi/2, \pi /2[$" .Dans la deuxième photo il y a des mots qui n'apparaissent pas.Ligne 1 de la démonstration, à la fin de la phrase il est écrit:" donc -1+2i possède un argument $\theta$ dans $]\pi/2, \pi[$.Ligne 2 de la démonstration, à la fin de la phrase il est écrit:" $\pi - \arctan(2)$ est un argument de $-1+2i $".Ligne 4 de la démonstration, à la fin de la phrase il est écrit:" donc $\theta = \pi - \arcsin(2/ \sqrt{5})$".
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@topalg
Si $\theta$ est tel que $x= \sqrt{x^2+y^2} \cos\theta$ et $y = \sqrt{x^2+y^2} \sin\theta$ et si $x$ est strictement positif, alors nécessairement, $\cos\theta>0$. Il ne te reste plus qu'à tracer un cercle trigonométrique pour y lire l'ensemble solution de l'inéquation $\cos \alpha>0$ d'inconnue réelle $\alpha$ et tu pourras en déduire qu'il existe un unique entier $k$ tel que $\theta-2k\pi \in ]-\pi/2,\pi/2[$. -
Topalg, pour la première question, la seule que j'ai traitée, tu avais négligé un renseignement fondamental qui est "Pour x>0" dans le premier cas, et "Pour x<0" dans le deuxième.D'autre part, parmi les arguments d'un complexe, il y en a toujours un qui est dans $[-\frac{\pi}2, \frac{3\pi}2[$ puisque les arguments diffèrent de $2\pi$. Si $\theta = \pm\frac{\pi}2$, x=0. Si $\theta \in [-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2[$, alors x>0 et si $[\theta \in \frac{\pi}2, \frac{3\pi}2[$ alors x<0. Ce qui justifie ce que dit ton cours (des évidences avec la représentation dans le plan complexe).Cordialement.
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J Lapin, je ne comprends pas ton message. Le lien vers un hébergeur externe qui a supprimé le fichier ne sert à rien. La suppression par un utilisateur de tous ses messages est rare, et dans ce cas, tout est perdu. Par contre, la suppression par le pp de sa question initiale est inacceptable, et le message est rétabli par la modération.Milites-tu pour la suppression des pièces jointes et le recours systématique à des hébergeurs externes, avec les risques de piratage associés ?
Cordialement. -
Non, je dis juste que l'hébergement par le site (assez lent donc autant ne pas le surcharger d'infos) les-maths.net ne me semble pas beaucoup plus fiable que l'hébergement par un site externe spécialisé et utilisé dans de très nombreux forums. Mais je note ton argument sur les risques de piratage.
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