Notons $T_{-1} = \inf\{n\in \mathbb{N}^*, S_n =-1\}$ temps d'arrêt (possiblement infini) qui correspond au premier temps de passage de la marche aléatoire $(S_n)_n$ vers $-1$.

Remarquons que $\mathbb{P}(\forall n \geq 1,\ S_n \geq 0) = \mathbb{P}(T_{-1}=\infty).$

Comment obtenir l'évènement $\{T_{-1} < \infty\}$ ?

1er cas : au premier incrément on va vers le bas (c'est à dire $X_1=-1$).

2ème cas : au premier incrément on va vers le haut (ie $X_1=1$). Puis, la marche aléatoire issue de $X_1=1$ descend d'un cran en un temps fini pour toucher une première fois le niveau $0$ (cela "correspond" à l'évènement $\{T_{-1}<\infty\}$ pour la marche issue de $1$).  Puis une fois que la marche est redescendu en $0$ (en un temps fini je rappelle) alors elle descend au niveau $-1$ à nouveau en temps fini (c'est l'évènement $\{T_{-1}<\infty\}$ pour cette nouvelle marche démarrée en $0$).

Posons $\tau = \inf\{n\geq 1\mid S_n = 0\}$ et posons $\tilde{\tau} = \inf\{n\geq \tau\mid S_n = -1\}$.

Alors par la propriété de Markov, on voit que conditionnellement à $X_1=1$ alors $\tau-1$ a pour loi $T_{-1}$ (et conditionnellement à $X_1=1$ et $\tau<\infty$ alors $\tilde{\tau}-\tau$ a également pour loi celle de $T_{-1}$).

Ainsi $\mathbb{P}(T_{-1}<\infty) = \mathbb{P}(X_1=-1)+\mathbb{P}(X_1=1, \tau <\infty, \tilde{\tau}-\tau < \infty)$

Et par la propriété de Markov décrite plus haut, $\mathbb{P}(X_1=1,\tau<\infty, \tilde{\tau}-\tau<\infty) = \mathbb{P}(X_1=1)\mathbb{P}(T_{-1}<\infty)^2$.

Ainsi en notant $\alpha = \mathbb{P}(T_{-1}<\infty)$, alors $\alpha$ est solution de $\alpha = q + p\alpha^2$ donc $\alpha=1$ ou $\alpha = q/p$. Puisque clairement (?*) $\mathbb{P}(T_{-1}<\infty)<1$, alors on en déduit qu'en fait $\alpha = q/p$. Finalement $\mathbb{P}(\forall n, \ S_n \geq 0) = \mathbb{P}(T_{-1}=\infty) = 1 - \alpha = \frac{p-q}{p}=2-\frac{1}{p}$.

(?*) En effet, sous l'hypothèse $p>1/2$ la loi forte des grands nombres dit que $S_n \to \infty$ presque sûrement, alors qu'avoir $\mathbb{P}(T_{-1}<\infty)=1$ entraînerait $\mathbb{P}(\liminf S_n = -\infty)=1$ ce n'est pas vraiment compatible...

Pour tout $n\in\Bbb N$, $x_n$ est le $n$-ième entier naturel dont la somme des chiffres en base 2 est impaire et $y_n$ est le $n$-ième entier naturel dont la somme des chiffres en base 2 est paire.

$y_0 = 0, y_1 = 3, y_n = 2 \lfloor \frac{n}{2} \rfloor + 1 \, \, \forall n \geqslant 2, x_0 = 1, x_n = 2 \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor + 2 \, \, \forall n \geqslant 1$.