À la chasse d'une primitive
Bonjour,
En utilisant les techniques de calcul intégral, chercher une primitive de $$f(x):= \frac x{1-x}\exp(\frac x{1-x}).$$
Inutile de me dire que wolphi sait la calculer, le but c'est de trouver une méthode pour y arriver. De ma part j'en ai trouvé une.
La question n'a pas un grand intérêt mais c'est un sport pour les neurones pendant son temps de loisir.
En utilisant les techniques de calcul intégral, chercher une primitive de $$f(x):= \frac x{1-x}\exp(\frac x{1-x}).$$
Inutile de me dire que wolphi sait la calculer, le but c'est de trouver une méthode pour y arriver. De ma part j'en ai trouvé une.
La question n'a pas un grand intérêt mais c'est un sport pour les neurones pendant son temps de loisir.
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
Réponses
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$t=\dfrac x{1-x}$ puis une IPP en intégrant $\dfrac1{(1+t)^2}$.
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Bonjour,
il me semble que
on pose ln(u) = x/(1-x), d'où dx=1/(u*(ln(u)+1)^2))
ensuite ipp qui fonctionne puisque dx donne en intégrant -1/(1+ln(u)).
Désolé, je ne latexe pas.
Cordialement
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@ gebrane merci pour cet exercice.
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Merci pour les participantsLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Encore plus compliquée, chercher une primitive de $x\mapsto \left(e^x+x-1\right)e^{-\tfrac{x}{\mathrm{e}^x-1}}$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Puisque personne ne trouve, Soit $K$ une primitive de $x\to (e^x+x-1)\exp\left(\frac{-x}{e^x-1}\right)$ , $ f=f(x)=\frac{xe^x}{1-e^x}$ , on note que $(e^x -1)^2 f'=-(e^x+x-1)e^x$$K(x)=\int (e^x+x-1)\exp\left(\frac{-x}{e^x-1}\right)dx=\int (e^x+x-1)e^xe^f dx\\ =\int (e^x-x-1)e^xe^f dx +2 \int xe^xe^f dx\\ =I(x)+2J(x)$On a $I(x)=-\int (e^x-1)^2 f' e^fdx=-\int (e^x-1)^2 ( e^f)'d=- (e^x-1)^2 e^f+2\int e^x (e^x-1)e^f dx$Donc $K(x)=I(x)+2J(x)=- (e^x-1)^2 e^f+2\int e^x (e^x +x-1)e^f dx=- (e^x-1)^2 e^f+ 2K(x)$Finalement $$K(x)= (e^x-1)^2 e^f$$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Se sont des méthodes non classiques pour rechercher des primitives. Merci gebrane pour le partage.
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Je ne vois pas comment calculer $J(x)$ , quelqu'un a une idée ?Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Gardons en tête qu’il y a des fonctions dont on ne pas pas exprimer les primitives à l’aide de fonctions usuelles, c’est le théorème de Liouville https://www.ceremade.dauphine.fr/~vigeral/Memoire_Le_Henaff.pdf page 6
Peut-être que pour $J(x)$ c’est le cas.
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Ce n'est pas une raison pour se décourager. Qui croyait qu'il avait une primitive cachée dans l'intégrale proposé par FDPLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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En effet, c’est pour cela j’ai écrit peut-être. Continuons à chercher.Encore bravo pour l’intégrale de FDP je ne croyais pas que c’était possible.
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Bonjour!
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