À la chasse d'une primitive

gebrane
Modifié (October 2022) dans Analyse
Bonjour,
En utilisant les techniques de calcul intégral, chercher une primitive de $$f(x):= \frac x{1-x}\exp(\frac x{1-x}).$$
Inutile de me dire que wolphi sait la calculer, le but c'est de trouver une méthode pour y arriver. De ma part j'en ai trouvé une.
La question n'a pas un grand intérêt mais c'est un sport pour les neurones pendant son temps de loisir.  
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


Réponses

  • $t=\dfrac x{1-x}$ puis une IPP en intégrant $\dfrac1{(1+t)^2}$.
  • cadiou
    Modifié (October 2022)
    Bonjour,
    il me semble que
    on pose ln(u) = x/(1-x), d'où dx=1/(u*(ln(u)+1)^2))
    ensuite ipp qui fonctionne puisque dx  donne en intégrant  -1/(1+ln(u)).
    Désolé, je ne latexe pas.
    Cordialement
  • etanche
    Modifié (October 2022)
    @ gebrane merci pour cet exercice. 
  • gebrane
    Modifié (October 2022)
    Merci pour les participants 
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • gebrane
    Modifié (October 2022)
    Encore plus compliquée, chercher une primitive de $x\mapsto  \left(e^x+x-1\right)e^{-\tfrac{x}{\mathrm{e}^x-1}}$
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Puisque personne ne trouve, Soit $K$ une primitive de $x\to (e^x+x-1)\exp\left(\frac{-x}{e^x-1}\right)$ ,  $ f=f(x)=\frac{xe^x}{1-e^x}$ , on note que $(e^x -1)^2 f'=-(e^x+x-1)e^x$

    $K(x)=\int (e^x+x-1)\exp\left(\frac{-x}{e^x-1}\right)dx=\int  (e^x+x-1)e^xe^f dx\\ =\int  (e^x-x-1)e^xe^f dx +2 \int xe^xe^f dx\\ =I(x)+2J(x)$

    On a $I(x)=-\int    (e^x-1)^2  f' e^fdx=-\int    (e^x-1)^2  ( e^f)'d=- (e^x-1)^2  e^f+2\int  e^x (e^x-1)e^f dx$
    Donc $K(x)=I(x)+2J(x)=- (e^x-1)^2  e^f+2\int  e^x (e^x +x-1)e^f dx=- (e^x-1)^2  e^f+ 2K(x)$
    Finalement  $$K(x)= (e^x-1)^2  e^f$$
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Se sont des méthodes non classiques pour rechercher des primitives. Merci gebrane pour le partage.
  • gebrane
    Modifié (October 2022)
    Je ne vois pas comment calculer $J(x)$  , quelqu'un a une idée ?
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • etanche
    Modifié (October 2022)
    Gardons en tête qu’il y a des fonctions dont on ne pas pas exprimer les primitives à l’aide de fonctions usuelles, c’est le théorème de Liouville https://www.ceremade.dauphine.fr/~vigeral/Memoire_Le_Henaff.pdf page 6
     Peut-être que pour $J(x)$ c’est le cas.
  • Ce n'est pas une raison pour se décourager. Qui croyait qu'il avait une primitive cachée dans l'intégrale proposé par FDP
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • En effet, c’est pour cela j’ai écrit peut-être. Continuons à chercher. 
    Encore bravo pour l’intégrale de FDP je ne croyais pas que c’était possible. 
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