Énoncé erroné donné au collège

jeremyjeff · October 2022

Bonjour

Que penser de cet énoncé donné au collège par des professeurs de mathématiques ?

Lors de la tempête Henri, qui a traversé la France en septembre , un arbre de 5,4 m de haut planté sur un sol horizontal, a été brisé.
Son sommet est désormais à 3,6 m de son pied.
La partie inférieur de l’arbre mesure 1,5 m
a°) Calculer la longueur de la partie supérieur de l’arbre, de la cassure au sommet.
b°) La partie inférieure de l’arbre est-elle restée verticale ? Justifier.

Appelons O le pied de l'arbre, C le point de cassure et S la position du sommet de l'arbre initial et S' la position finale.
- Une première solution erronée (donné par le professeur) consiste à dire que le triangle OCS' est rectangle en O.
On calcule ensuite par le théorème de Pythagore la distance CS' qui vaut racine (1,5² + 3,6²) = 3,6 m.
On en déduit ensuite que : OC + CS' = 1,5 + 3,9 = 5,4 m = OC + CS, donc que le triangle initiale OCS est aplati.

Le problème de cette démonstration est qu'en supposant le triangle OCS' triangle en O, on admet que la position basse de l'arbre est restée verticale.

- De mon point de vue
Le point C est sur un cerce de centre O et de rayon 1,5 m.
La partie basse de l'arbre peut être inclinée.
La droite (OS') n'a aucune raison d'être perpendiculaire à (OC).
Le triangle n'a aucune raison d'être rectangle en S'.
J'arrive à trouver des solutions où la partie basse est inclinée.

Que penser de cet énoncé ?
Merci.
Cordialement,
JeremyJeff

Ludwig · October 2022

Je ne vois pas où est le problème. Bien sûr qu'on ne peut pas faire Pythagore pour calculer $CS=CS'$ car on ne sait pas si le triangle $OCS'$ est rectangle. Mais tu as $CS=CS'=5,4-1,5=3,9$ et ensuite tu utilises la réciproque de Pythagore pour conclure que la partie inférieure de l'arbre est restée verticale.

biely · October 2022

Qu’il est représentatif des énoncés actuels malheureusement. J’ai aidé récemment une élève de quatrième pour un devoir où tous les exercices étaient en réalité infaisables (sauf un scratch...) car les énoncés étaient trop imprécis (et il ne s’agit pas d’être pointilleux). Je me tue à dire qu’en géométrie, surtout à partir de la quatrième, les démonstrations ne se font pas à base de ’’il me semble voir’’ mais ’’je sais que’’. Exemple: un semblant de trapèze rectangle dessiné (mais absolument rien n’est mentionné à part les longueurs de trois côtés) et où on demande la valeur exacte du dernier côté en espèrant que l’élève sorte du théorème de Pythagore.
Sur l’énoncé de l’arbre: je ne vois pas de problème (par contre il y a un souci dans la correction du prof). Bon, du coup cet énoncé n’est plus représentatif...

. On peut néanmoins chipoter un peu...

.

Jean-Louis Ayme · October 2022

Bonjour,
c'est foutu...rien à espérer...

Sincèrement
Jean-Louis

Ludwig · October 2022

L'énoncé original, tiré du Transmath 2016 :

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/xj/r9hdv0imofqz.jpg

biely · October 2022

Merci Ludwig.
Cet énoncé me semble plutôt pas mal fichu en fait (le ’’restée’’ a son importance). Le problème se situe dans la correction du prof.

Ludwig · October 2022

Je vois, et j'avoue que l'importance de ce restée m'avait échappée ! Du coup oui, c'est vrai, la question 2 est mal posée. Mais l'énoncé n'est pas erroné pour autant.
Je verrais bien un exercice avec les même données, sans la question 2, et où on dit dès le départ que la partie inférieure est restée verticale. Pour ceux qui se précipitent sur Pythagore sans réfléchir..

Jaymz · October 2022

Oui, cet exercice est au contraire bien posé (le fait qu'il précise bien que le sol soit horizontal). Je ne sais pas où tu as trouvé ton énoncé @jeremyjeff.
Je l'ai fait en classe pas plus tard que cette semaine. C'est d'ailleurs intéressant car on peut voir les élèves qui se lancent tête baissée dans Pythagore à la question 1, sans réfléchir, de ceux qui au contraire prennent le temps. Bref, un exercice qui n'est en rien représentatif d'un exercice mal posé mais qui au contraire permet de revenir à l'essence des maths : ai-je bien mes conditions d'utilisation de mon théorème ?

Dom · October 2022

« Restée » suppose qu’il était vertical auparavant.

Je pense qu’on aurait pu le dire dans l’énoncé.

À part ça, l’énoncé contient une figure qui est très claire.

jeremyjeff · October 2022

Je suis peut-être idiot, mais pour moi il faudrait écrire:
Son sommet est désormais à 3,6 m du projeté orthogonal du point de cassure sur le sol
au lieu de : Son sommet est désormais à 3,6 m de son pied.

kioups · October 2022

Pas sûr qu'on voit le projeté orthogonal avant la seconde...

jeremyjeff · October 2022

Mais du coup, avec l'énoncé original, la correction je ne la comprends pas.
Quelle réciproque de Pythagore ? Sur quel triangle ?

Dom · October 2022

On peut aussi dire « arbre de longueur 5,4 » et éviter de dire « de hauteur 5,4 ».

En effet, un arbre peut être très long (longueur du tronc) mais moins haut que sa longueur.

Ludwig · October 2022

Le pied de la hauteur issue de la cassure.. le pied de l'arbre..

lourrran · October 2022

Vous cherchez vraiment la petite bête.

J'arrive à trouver des solutions où la partie basse est inclinée.

J'aimerais bien des précisions sur cette phrase.... ça me paraît la phrase la plus fausse de toute cette histoire.

Math Coss · October 2022

Tout le monde aura vu qu'il y a un vrai arbre et de vraies mesures. Donc une partie de modélisation et nécessairement des approximations. J'ai l'impression que si certains d'entre vous trouvaient un centième de différence entre le carré de la would-be hypoténuse et la somme des carrés des autres côtés il conclurait que l'arbre est penché. Ne serait-ce pas exagéré ?

Sato · October 2022

Bonjour. Je trouve cet énoncé profondément ridicule et bien dans l'air du temps.

Le problème, ce n'est pas Pythagore et les calculs demandés, c'est l'arbre, ses branches (il est où le sommet ?), sa cassure, l'herbe, la fourmilière qui fait une petite bosse et ce qu'on demande d'en faire.

JLapin · October 2022

Pareil : je me demande pourquoi la majorité des exercices du collège sont au mieux des énigmes du journal de Mickey et au pire des exercices de lectures de tableau superficiels.

Il y a tant de problèmes de géométrie et d'algèbre même simple qui permettent de former correctement (même si le programme de géométrie est assez réduit, j'en convient)...

jelobreuil · October 2022

Bonjour à tous,

Je me permets de signaler une petite différence entre l'énoncé du message initial de Jeremyjeff et celui du Transmath fourni par Ludwig avec la photo : dans ce dernier, il est précisé que le sommet de l'arbre se trouve "sur le sol" ...

Personnellement, avant de lire le message de Ludwig, je me demandais si la partie supérieure de l'arbre n'était pas restée quelque peu suspendue en l'air ...

Mais ceci mis à part, je suis vraiment atterré par cet énoncé ! Pour quel niveau est-il proposé ? C'est la dérive "situationniste concrétiste" dans toute sa soi-disant "splendeur" ... Et "réductionniste", en outre, car comme le dit Sato, il y a une foule de petits détails négligés qui font que, quoi qu'on calcule, ce sera toujours avec une grande approximation ...

Bonne soirée quand même, bien cordialement, JLB

raoul.S · October 2022

J'avoue ne pas comprendre pourquoi cet exercice est mauvais selon vous. Comme Ludwig le dit ICI, cet exo permet d'appliquer la réciproque de Pythagore, ce qui me semble être une bonne chose...

En ce qui concerne l'énoncé ICI il m'a l'air clair.

Dom · October 2022

Ma réserve mathématique est ce « est restée verticale ». Je pense qu’il fallait l’écrire dans l’énoncé (on suppose que l’arbre était vertical).

Ma réserve pédagogique (c’est moins important) est que personne ne se pose cette question là comme ça MAIS qu’on appelle cela un « exercice concret » pour simuler n’importe comment que « les maths ça sert à quelque chose ».

Math Coss · October 2022

Je suis assez convaincu que l'auteurice de l'exercice a pris la photo et s'est peu ou prou posé la question.

Soc · October 2022

Autant je n'aime pas le principe de coller partout des pseudo-contextes, autant il ne faut pas se l'interdire non plus, en rappelant au passage que bien sûr dès que l'on confie les mathématiques aux autres disciplines telles que le jardinage elles perdent vite leur perfection. On insiste alors sur le fait que de tels énoncés sous-entendent beaucoup trop de choses et qu'il est de bon ton de préciser au début ce que l'on a interprété de ces sous-entendus, notamment en termes d'angles droit (grand classique du brevet).

lourrran · October 2022

Cet exercice est dans la famille des 'exercices à base de situations pseudo-réelles'. Donc avec les défauts inhérents à ces exercices.
Mais en dehors de ça, il n'y a rien à redire. En particulier, j'aimerais vraiment une justification de cette critique :

J'arrive à trouver des solutions où la partie basse est inclinée.

JLapin · October 2022

Si le terrain est en pente, la souche restante n'est pas en position verticale mais comme l'énoncé précise "sol horizontal", pas de problème à mon avis.

raoul.S · October 2022

Dans l'énoncé il est précisé que le sol est horizontal.

Edit : redondant.

Soc · October 2022

Pour revenir plus en détail sur l'énoncé, je ne vois pas en quoi la réciproque de Pythagore pourrait éviter que le plan de l'arbre ne soit pas/plus vertical, et je ne comprends pas pourquoi le "resté" vous importe tant.

Mais encore une fois, il suffit de rappeler aux élèves la "mauvaise foi" de ces exercices avant de se prêter au jeu. C'est même plutôt un bon exercice de montrer les limitations de ces modélisations avant d'y répondre.

Dom · October 2022

Oui, disons qu’il faut rappeler aux élèves : élaguer (haha) tout le décor superficiel de l’exercice et extraire une figure usuelle exploitable.
Pauvres enfants…

biely · October 2022

@Soc
Si tu ne sais pas que l’arbre était vertical avant la tempête je ne vois pas comment tu peux répondre à la première question.

jelobreuil · October 2022

Mais comment veut-on que des enfants puissent faire abstraction de tout ce fatras indigeste et retrouver par eux-mêmes la "bonne" figure ?

J'ai le sentiment qu'il serait quand même plus simple de les faire réfléchir sur quelque chose d'abstrait, et d'attendre qu'ils l'aient bien assimilé pour passer ensuite à du concret, non ?

Dom · October 2022

Disons qu’on peut invoquer l’argument « si on dit ”resté ou pas” ça sous-entend qu’il l’était ».
Oui, bon, s’il faut jouer à Sherlock…

kioups · October 2022

@jelobreuil : peut-être ont-ils fait des exercices abstraits avant de faire cet exercice...

biely · October 2022

Le côté pas très net dans cet énoncé est que l'information "arbre vertical avant la tempête" est donnée par la deuxième question comme si cela était évident dès le départ que la hauteur d'un arbre rectiligne correspondait à sa longueur.

Jaymz · October 2022

Pour avoir fait cet exo semaine dernière (et ces dernières années), la contextualisation ne pose aucun problème, par contre 75% chute à la première question car les élèves appliquent Pythagore sans savoir si le triangle est rectangle ou pas. C'est pourquoi cet exercice, pour moi, est avant tout à faire pour montrer l'importance des conditions d'utilisation d'un théorème plutôt que d'essayer de trouver un côté pratique aux maths.

biely · October 2022

Ce n'est pas pire que de répondre 5,4-1,5 pour la première question sans justifier que le triangle était rectangle avant la tempête. J'ai l'impression que dans la tête des auteurs un arbre planté sur un sol horizontal signifie arbre vertical...Si on regarde l'image la réponse est directe: l'arbre était vertical (puisqu'on nous le dit indirectement au b)) et la partie inférieure est restée verticale (pas de dessouchage visible...).

Jaymz · October 2022

Ben on s'en fiche que le triangle soit rectangle ou pas pour la question a), puisqu'il faut faire 5.4-1.5, c'est indépendant de ce fait là. En tout cas, c'est comme cela que je le vois.

biely · October 2022

@Jaymz

Donc pour toi un arbre rectiligne de 5,4 mètres de haut a forcément une longueur de 5,4 mètres ?

Jaymz · October 2022

Je vois bien le problème mais on va pas refaire le match, 5.4m "de haut" est suffisant pour comprendre que c'est la hauteur du tronc, donc la soustraction suffit.

kioups · October 2022

On se posait moins de questions au bon vieux temps avec les trains qui se croisaient ou pas.

lourrran · October 2022

Evidemment, on peut chercher la bêbête, et on la trouve. Et plus on est brillant, plus on la trouve.

Maintenant, le gamin, il est naïf, il fait confiance au bouquin. Sauf si le prof passe son temps à expliquer que le bouquin est nul, mais alors, le prof est encore plus nul que le bouquin.

Donc le gamin, il calcule 5.4-1.5, il trouve 3.9. La partie 'inclinée' du triangle mesure 3m90. Il a sa réponse pour la question 1.
Le gamin normal ne s'embrouille pas avec le fait qu'un arbre qui a une hauteur de 5m40, il a une longueur qui pourrait être différente de 5m40 !
Si le gamin est conscient de ça, c'est un petit génie, il survole l'exercice facilement, et de toutes façons, il se dit : ok, l'énoncé est nul, l'énoncé fait des impasses pour que mes camarades nullosses arrivent à comprendre, et il sait quoi répondre pour faire plaisir à l'auteur de l'exercice.

Pour la question 2, le gamin normal, et qui en plus connait bien sa leçon, il constate que 3.9²=1.5²+3.6², bingo, ça coïncide. Donc l'angle est droit, donc la partie inférieure est restée verticale.

Le gamin qui a parfaitement compris Pythagore, il dit ça.

biely · October 2022

On se posait moins de question car peut-être les énoncés étaient moins tordus ou imprécis. Ce qui me fait rire ici c'est que l'on attend au tournant l'élève sur un théorème de Pythagore qu'il ne peut pas appliquer faute d'une hypothèse mais cela ne choque personne de confondre longueur d'un arbre et sa hauteur!

JLapin · October 2022

Je vais me faire l'avocat du diable.

Dans un énoncé bien posé, je trouve qu'on devrait pouvoir répondre à la première question sans avoir lu la suivante (même si lire la suivante donne parfois par déduction des idées pour aborder la première).

Les hypothèses étant essentiellement un dessin, je constate que celui-ci me montre que le triangle qui va bien est rectangle (si on me dessine une porte, je pars du principe que c'est un rectangle, etc.) et qu'on me donne deux des trois côtés. J'en déduis le troisième d'après Pythagore.

Évidemment, douche froide à la lecture de la seconde question...

Bref, est-il pédagogiquement intéressant de proposer aux élèves de collège des énoncés mal branlés ?

Si ce n'est pour les préparer aux énoncés officiels du brevet des collèges, je crois préférable au contraire que le professeur applique à ses propres énoncés un souci de rigueur et de bonne organisation des questions supérieur ou égal (voire 10 fois supérieur) à la rigueur et la précision des raisonnements qu'il exige aux élèves.

Histoire de montrer l'exemple.

kioups · October 2022

@biely : énoncés moins imprécis ? Pas besoin d'être trop tatillon pour trouver la petite bête !

nicolas.patrois · October 2022

JLapin a dit :

Bref, est-il pédagogiquement intéressant de proposer aux élèves de collège des énoncés mal branlés ?

Oui, comme tu l’écris, pour les préparer au brevet mais aussi, pourquoi pas, pour leur faire décortiquer ce qui n’est pas carré dans le sujet : où sont les implicites, où sont les erreurs, les imprécisions, etc. Cela peut éveiller leur esprit critique.

Jaymz · October 2022

La question n'est pas de choquer ou pas, tout dépend de ce que tu veux faire avec ton exo, comme je l'expliquais, et je suis d'accord avec lourrran, les gamins ne s'embêtent pas avec cette histoire, ils foncent tête baissée en se disant "ah ben, j'ai 2 longueurs, je cherche la 3eme, bingo, Pythagore"...Alors que...

Cet exercice n'est pas fait pour piéger l'élève ou autre.

lourrran · October 2022

Effectivement, si l'élève utilise Pythagore pour calculer la longueur de la partie supérieure de l'arbre, il se trompe. Et le dessin, avec 2 mesures bien visibles en blanc flashy peuvent effectivement l'inciter à utiliser cette piste.
L'élève a une 3ème information, le 5.40 total, et la partie supérieure de l'arbre, c'est 5.40-1.50. Rien d'autre.

Une autre photo, avec l'arbre avant la tempête et la mesure de 5.40m aurait été bienvenue.

je crois préférable au contraire que le professeur applique à ses propres énoncés un souci de rigueur et de bonne organisation des questions supérieur ou égal (voire 10 fois supérieur) à la rigueur et la précision des raisonnements qu'il exige aux élèves.

Oui, tout à fait, mais ici, les infos pour répondre à la question a) sont bien là depuis le début. Le 5.40 et le 1.50 sont là, avant la photo.

Donner 3 ou 4 informations et laisser l'élève chercher quelles informations sont utiles pour la question 1, et lesquelles seront utiles pour les autres questions, c'est un bon principe.

biely · October 2022

lourrran a dit :
L'élève a une 3ème information, le 5.40 total

Non justement, l'info est suggérée seulement à la question b)!

Soc · October 2022

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec Lourrran, les élèves aiment au contraire chercher la petite bête (non pas qu'ils le fassent toujours pertinemment) et je pense qu'il est important de leur montrer les limites de ce type d'énoncé. J'ai vu plusieurs fois des élèves ne pas réussir à faire un exercice parce qu'ils cherchent une donnée qui de fait n'apparait pas. Comme déjà dit il est très fréquent par exemple que les angles droits ne soient que vaguement sous-entendus dans les énoncés de brevet par exemple, en particulier en géométrie dans l'espace où soudain tout ce que l'on demande de démontrer "rigoureusement" en géométrie plane devient admis sans même le mentionner.

D'autre part, même si je préfère le côté abstrait des mathématiques et n'ai pas de goût pour le pseudo concret, une partie des élèves attend qu'on leur présente cette facette pour considérer les mathématiques comme "utiles" et accepter de les apprendre.

Alors certes cet exercice a des défauts (objection retenue @biely) mais il n'est pas si pire dans le genre.

lourrran · October 2022

???
Que ce soit dans la version de Jeremyjeff ou dans l'image postée par Ludwig, je vois dès le début de l'énoncé que l'arbre a initialement une hauteur de 5m40.
Cette information est bien là.
Sauf si tu considères que tout est dans le verbe 'rester vertical'.... qui effectivement donne l'information que non seulement la hauteur était de 5m40, mais en plus, le faîte était bien à la verticale de la base. Mais comme déjà dit, je considère (c'est mon opinion) que ça, c'est du chipotage de gens trop intelligents.

biely · October 2022

Je suis d'accord avec toi Soc. Les élèves sont parfois bloqués sur des imprécisions dont on a parfois du mal à anticiper (sans parler du problème de compréhension en français). Sur cet exercice j'ai dit après coup qu'il est finalement pas mal fichu. La seule chose que je regrette est cette information à la question b) qui sert pour la question a). Si on cherche la petite bête sur le fait que le triangle COS' n'est peut-être pas rectangle en O alors on doit aussi chercher la même petite bête pour le triangle SOS' (avec cette histoire de hauteur de 5,4 mètres) c'est tout ce que je dis.

lourrran · October 2022

L'information que je n'ai pas, c'est : en quelle classe donne-t-on cet exercice ?

Je parlais de gamin naïf, qui fait confiance au bouquin, et évidemment, cette image d'Epinal, elle est partiellement vraie en 5ème, totalement fausse en 3ème.

En fait, ce qui m'a énervé dans cette discussion, c'est cette phrase extraite du tout premier message:
J'arrive à trouver des solutions où la partie basse est inclinée
J'avais le sentiment que cette phrase était plus fausse encore que l'énoncé.

Mais ça y est, en tapant ce message, je viens de les trouver, ces solutions.
On a nos 4 points O,C,S, S' (S supposé à la verticale de O)
Si on impose à C d'être dans le plan OSS', pas de miracle, avec les 3 valeurs 3.9, 3.6 et 1.5, on a un angle droit.
Mais si on autorise C à être en dehors du plan OSS', effectivement, on trouve des solutions pour lesquelles les mesures sont celles données, et C n'est plus à la verticale de O.

Énoncé erroné donné au collège

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