$\mathbb F_2$-algèbres...

Commutative, l’algèbre ? Associative ? Tu as trouvé la phrase où ?

Si ton algèbre est commutative, la réponse de raoult.S est la bonne.

Si elle ne l’est pas, alors il s'agit formellement de considérer un espace vectoriel sur $\mathbb{F}_2$ admettant une base à deux éléments que l’on note $(x,y)$, puis de poser $$A = T(E) / (x\otimes x),$$ où $T(E)$ est l’algèbre tensorielle de $E$, qui est définie par $$T(E) = \bigoplus_{k=0}^{+\infty} E^{\otimes k}.$$
Il ne faut cependant pas trop rester attaché à ces définitions formelles qui justifient surtout l’existence de ton algèbre. Il suffit de retenir qu’elle a deux générateurs $x$ et $y$ (qui commutent ou pas selon le cas) avec la relation $x^2=0$.

Les éléments de $R$ sont les sommes de monômes $x^{a_1}y^{b_1}xy^{b_2}\cdots x y^{b_k}x^{a_{k+1}}$ avec $k\in\N$, $a_1, a_{k+1}\in \{0,1\}$ et $b_1, \dots,b_k\in \N^*$.
On trouve en particulier $\mathbf F_2[y]$.
L'élément $r=y$ satisfait à la condition que $r-r^2$ n'est pas nilpotent.