Droite numérique achevée
Réponses
-
$\R$ n'est pas majoré si tu cherches un majorant dans $\R$.Mais $\R$ en tant que partie de $\overline{\R}$ est bien bornée, donc pas de contradiction.
-
Bonjour.Dans $\bar \R,\ \min \R =-\infty,\ \max \R = +\infty$ donc $\R$ est borné. Faux ! voir ce message rectificatif.Dans $]0,1[$ l'intervalle $]0,1[$ n'est pas borné.Cordialement.
-
Une remarque hors-sujet mais ça m’avait joué des tours à un examen/concours alors j’en parle ici.Voilà de quoi il s’agit : on voit souvent $\bar{\R}=\{-\infty;+\infty\}\cup\R$.J’avais eu un doute un jour et j’avais perdu du temps, bref.Dans $\R$, l’adhérence de $\R$ que l’on note aussi $\bar{\R}$ est $\R$. On a aussi $\bar{\Q}=\R$.
Ainsi, méfiance sur les notations : la « barre » ne signifie pas toujours la même chose. -
Si on munit $\overline{\R}$ de la topologie de l'ordre, alors on peut montrer que $\R$ est dense dans $\overline{\R}.$ Ceci justifie d'une certaine façon, a posteriori, la notation avec une barre.
-
Ben non, 0 et 1 ne sont pas dans ]0,1[ !! Relis ce que j'avais écrit.Tu viens de dire la même erreur que "$\R$ est borné car tout réel est majoré par $+\infty$ et minoré par $-\infty$". Ce qui est évidemment faux.Cordialement.
-
L’important est « borné dans quoi ».
-
Pour parler d'ensemble borné ne faut-il pas une distance ?Sur $\R$ la distance usuelle $(x,y)\mapsto|x-y|$ n'est pas bornée.Sur $\overline{\R}$ on ne peut pas prolonger la distance usuelle de $\R$ (une distance est toujours à valeurs dans $\R_+$) et pour la plupart des distances (par exemple $(x,y)\mapsto |\arctan x-\arctan y|$ prolongée convenablement à $\overline{\R}$) on a un espace métrique borné.
-
Pas forcément, on peut juste se contenter d'une relation d'ordre partiel. Mais les exemples vont devenir très abstraits...
-
Pas trop abstrait : l'ensemble $\N$ est borné... quand on le munit de l'ordre de la divisibilité. En effet, $1\mid n\mid 0$ pour tout entier $n$.
-
En fait, on peut mettre deux cadres théoriques derrière la phrase $]0,1[$ est (ou non) bornée.En début d'études postbac, on apprend qu'une partie $A$ d'un ensemble ordonné $(E,\leq)$ est bornée s'il existe $M\in E$ un majorant de $A$.
En suivant cette définition, $]0,1[$ n'est pas une partie bornée de $(]0,1[,\leq )$. Et pour poursuivre les trucs contre-intuitifs on démontre aussi que toute partie de $([0,1],\leq )$ possède une borne sup (elle vaut $0$ si la partie est vide).Deuxième cadre : un peu de topologie.
Si on munit $]0,1[$ de la topologie induite par la valeur absolue sur $\R$, alors $]0,1[$ est une partie bornée (la distance entre deux éléments de $]0,1[$ est majorée par $1$).À noter que si on change de distance sur $]0,1[$, on peut se retrouver à nouveau avec $]0,1[$ non bornée... -
Ce qui est amusant, c'est que les deux distances que tu évoques définissent la même topologie. Go figure...
-
gerard0 a dit :Bonjour.Dans $\bar \R,\ \min \R =-\infty,\ \max \R = +\infty$
-
Il y a deux relations binaires en jeu là, $(\mathbb R,<)$ et $( \mathbb R \cup \{+\infty,-\infty \},<)$. $\mathbb R$ est borné dans $( \mathbb R \cup \{+\infty,-\infty \},<)$ mais pas dans $(\mathbb R,<)$.
Le vocabulaire "borné", "sup"... vient de la notion de relation binaire, cela suffit pour éclaircir le discours.
Courage -
Cohomologie,Merci de rectifier mon message qui mélangeait deux choses :* Dans $\bar \R,\ \inf \R =-\infty,\ \sup \R = +\infty$* Dans $\bar \R,\ \min \bar\R =-\infty,\ \max \bar\R = +\infty$Cordialement.(rectification suite au message de math Coss)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.6K Toutes les catégories
- 62 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.7K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 23 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 84 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 26 Mathématiques et finance
- 342 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 805 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres