Idéal nilpotent

courage
Modifié (October 2022) dans Algèbre
Bonjour tout le monde, 
J'ai besoin de votre aide s'il vous plaît.
Soient $R$ un anneau commutatif et $x \in R$. L'idéal engendré par $x$ est défini par:$ <x>\,=\{ ax \mid a \in R\}$. 
Si $x$ est nilpotent, est-ce que $<x>$ est aussi nilpotent ? Je croyais que c'est juste, mais lorsque j'ai pris un exemple, je me suis rendu compte que ce n'est pas le cas sauf si je me suis trompé dans l'exemple. L'exemple est le suivant : 
$R= \Z/8\Z$, $Nil(\Z/8\Z)= \{0,2\}$ et $ <x>\,=\, <2>\,=\{ 2a \mid a \in \Z/8\Z \}=    \{0,2,4,6\}$. Puisque $4$ et $6$ ne sont pas nilpotents donc $<x>$ ne l'est pas aussi. Est-ce que c'est juste ? 
Merci d'avance 


Réponses

  • Foys
    Modifié (October 2022)
    courage a dit :
    Puisque $4$ et $6$ ne sont pas nilpotents
    Si, ils sont bien nilpotents dans $\Z/8\Z$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Math Coss
    Modifié (October 2022)
    D'évidence, si $x^k=0$, toute somme de produits $xa_1xa_2\cdots xa_k$ est nulle (avec $a_1,\dots,a_k\in R$ quelconques), d'où $\langle x\rangle^k=0$.
    (Si $A$ n'est pas $B$, $C$ ne l'est pas non plus.)
  • Merci @Foys , vous avez raison, $4^3=0$ et  $6^3=0$ donc, ils sont bien nilpotents. Mais pourquoi $Nil(\Z /8\Z) $n'est pas égale à $ \{ 0, 2,4,6\} $ puisque ce dernier est aussi un idéal. 
    @Math Coss, merci bien.
  • Pourquoi dis-tu que $Nil(Z/8Z)$ n'est pas égal à $\{0,2,4,6\}$ ?
  • courage
    Modifié (October 2022)
    Parceque au début j'ai écrit que $\{0,2\}$ est le Nilradical de $\Z/8\Z$ mais puisque $4,6$ sont aussi nilpotents alors je me suis trompé dans la détermination du Nilradical de $\Z/8\Z$. Finalement, le Nilradical de $\Z/8\Z$ est égal à $\{0,2,4,6\}$.
  • Math Coss
    Modifié (October 2022)
    Pour s'en convaincre : la classe modulo $8$ de l'entier $x$ est nilpotente SSI une puissance de $x$ est divisible par $8$ SSI $x$ est divisible par $2$.
    La première équivalence est la définition de « nilpotent ». Pour la deuxième équivalence, on fait deux sens. Si une puissance de $x$ est divisible par $8$, disons $x^j=8i$ pour $i$ et $j$ convenables), alors $x$ est divisible par $2$ (il est assez clair que $x$ est pair ; pour un autre nombre premier, cela pourrait être le lemme de Gauss ou d'Euclide). Si $x$ est divisible par $2$ (i.e. $x=2k$ pour $k$ convenable) alors $x^3$ est divisible par $8$ (car $x^3=8k^3$).
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