Suites décroissantes

courage
courage
Modifié (October 2022) dans Analyse
Bonjour, j'ai une question s'il vous plait.
J'ai trouvé une assertion qui dit: "Si une suite $u_n$ positive tends vers $0$, alors elle est décroissante" est fausse. Ils ont donné comme contre exemple la suite $u_n =0$ si $n$ est pair, $u_n=\frac{1}{n}$ si $n$ est impair. 
Pourquoi $u_n$ n'est pas décroissante, j'ai trouvé que $u_{n+1}-u_n = \frac{-1}{n(n+1)} \leq0 $ ?
Merci d'avance.

Réponses

  • JLapin
    JLapin
    Modifié (October 2022)
    Tu as faux.
    Compare simplement $u_0$ et $u_1$.
  • courage
    courage
    JLapin Ah oui je vois, $u_0 \leq u_1$ donc ce n'est pas décroissante. Mais pourquoi ça marche pas avec la méthode classique?
  • courage
    courage
    Je pense qu'il faut raisonner comme suit:  si $n$ est pair alors $u_{n+1}-u_n= \frac{1}{n}-0=\frac{1}{n} \geq 0$, si $n$ est impair alors $u_{n+1}-u_n= 0- \frac{1}{n}=\frac{-1}{n} \leq 0$. Donc elle est ni croissante ni décroissante.


  • gerard0
    gerard0
    Modifié (October 2022)
    Bonjour.
    Quand une suite est simple, en calculer quelques termes permet d'éviter les plus grosses erreurs. Avec un tableur, c'est souvent rapide.
    Cordialement.
  • courage
    courage
    gerard0 Oui je vois, merci pour votre remarque.
  • PG
    PG
    Modifié (October 2022)
    Bonjour @courage,
    En PJ un exemple simple niveau lycée (probablement terminale).
    Cordialement.
    PG
  • PG
    PG
    Bonjour @courage,

    - La limite est facile
    - Pour justifier que la suite U n'est ni croissante ni décroissante, dans l'étude du signe de Un+1-Un on pourra distinguer les deux cas n pair, n impair.
    Bon courage.
    PG
  • lourrran
    lourrran
    Tu es beaucoup trop courageux (d'où ton pseudo !)
    Calculer $u_{n+1}-u_n$, pour savoir si cette suite est décroissante ou pas, c'est trop compliqué, c'est prendre un tank pour tuer une mouche.  Et d'ailleurs, ton calcul est faux.

    Ici, on te propose une suite qui est définie d'une certaine façon si $n$ est pair, et d'une autre façon si $n$ est impair.
    Un terme sur 2 est nul l'autre est strictement positif. La suite fait du yoyo, un pas en montant, suivi d'un pas en descendant... et comme ça tout le temps.
    Quand tu lis le contre-exemple, tu dois visualiser cette forme (un terme sur 2 est nul, et l'autre strictement positif). Il faut toujours tenter de voir le dessin, avant de se lancer dans des calculs. Et ici conclure immédiatement que cette suite n'est ni croissante, ni décroissante. Je crois qu'on parle de suite alternée, mais je ne suis pas sûr. Peut-être que la définition de suite alternée est plus stricte (alternativement positive et négative). Mais de toutes façons, tu dois visualiser cette alternance. 



    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • JLapin
    JLapin
    Oui, c'est une série alternée (puisque $0\leq 0$), mais elle ne vérifie pas les hypothèses du théorème puisque la valeur absolue ne tend pas vers $0$ en décroissant...
  • Math Coss
    Math Coss
    Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi il n'y a qu'une seule paire de parenthèses autour de $n$ dans le dénominateur de l'énoncé de @PG. J'aurais plus volontiers écrit \[u_n=\left(\left(\frac1n\right)\right)+\frac{\Bigl( \bigl((-1)\bigl)^n\Bigr)}{\Bigl(\bigl((n)\bigr)\Bigr)^2}.\]
  • JLapin
    JLapin
    Oui, 7 précautions valent mieux qu'une !
  • PG
    PG
    JLapinMath Coss,

    ...Eh oui, les inutiles parenthèses m'ont échappé!
    C'est grave, docteur?
    Je plaide coupable, et responsable.
    Passez-moi le bonnet d'âne s'il vous plaît, merci.
    Je ferai mieux la prochaine fois, promis!

    PG
  • JLapin
    JLapin
    Verdict : ce sera un avertissement mais qu'on ne vous y reprenne plus ! :)
  • PG
    PG
    Modifié (October 2022)
    Ouf, cachez ces parenthèses que je ne saurais voir! :D
  • PG
    PG
    Bon, ce n'est pas très original, tout le monde a reconnu une copie éhontée de Molière, connu comme grand mathématicien du dix-septième siècle n'est-ce pas? :D
  • julian
    julian
    Oui, moi, le semi-misanthrope... 
  • julian
    julian
    Pg, tu confonds avec Leibniz, ou Newton... 
  • PG
    PG
    Bonjour,
    @julian, peut-on encore plaisanter?
    Tout le monde a compris que quand je parle de "Molière mathématicien" je ne suis pas très sérieux! :)
    Bonne journée.
    PG
  • gebrane
    gebrane
    @julian Je te donne 
    $\square{suite\, positive }$
    $\square{suite\, de\, limite\, nulle }$
    $\square{suite\, décroissante }$
    Peux-tu me donner les formations possibles  de la forme $\square+\square\Longrightarrow \square$, mais qui sont vraies mathématiquement (Ne te fait pas piéger)
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


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