A-module de type fini

courage
Modifié (October 2022) dans Algèbre
Bonjour, j'ai une question à vous poser s'il vous plait.
Si $A$ est un anneau commutatif et $M$ un idéal maximal de $A$, on a la notion de  $A$-module de type fini, si $k=\frac{A}{M}$,  le $k$-module devient un $k$-espace vectoriel. Ma question : que devient la notion de type fini ? Un $k$-espace vectoriel de type fini c'est quoi ? C'est un $k$-espace vectoriel de dimension finie ?

Réponses

  • Oui, puisqu'il admet une famille génératrice finie et que sur un corps, le cardinal de n'importe quelle base est inférieur ou égal à celui de n'importe quelle famille génératrice (lemme de Steinitz).
  • courage
    Modifié (October 2022)
    Math Coss Merci pour votre Réponse. J'ai une autre question s'il vous plait : est-ce qu'il y a une méthode pour déterminer un $\dfrac{A}{M}$ de dimension finie, pour $A$ et $M$ donnés ?
  • Je ne comprends sans doute pas la question. Un $A/M$-ev de dimension finie ? Eh bien, $A/M$ en est un... mais bien sûr ce n'est pas très excitant.
  • Bonjour,
    C'est peut-être un peu tangent comme remarque, mais le quotient M/M²  est  aussi un excellent A/M espace vectoriel...
    Cordialement.
  • De manière générale, si $B$ est un $A$-module alors, en notant $N$ le sous-module de $B$ engendré par les $m.b$ avec $m \in M$ et $b \in B$,  $B/N$ est naturellement muni d'une structure de $A/M$-espace vectoriel.

Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.