Continuité, dérivabilité et fonction lipschitzienne

Bonsoir


Je bloque sur une partie de la question $b$. 
a) Supposons $f$ dérivable en $x_0$. Alors $f(x)=\dfrac{ f(x)-f(x_0) }{x-x_0} (x-x_0) +f(x_0) \longrightarrow f'(x_0) \times 0 + f(x_0)=f(x_0)$ donc $f$ est continue en $x_0$.
La fonction valeur absolue est continue en $0$, mais elle n'est pas dérivable en $0$.
En effet, $\forall x \in \R^{*} ,\ \dfrac{ |x|- |0|}{x-0}= \begin{cases}  1 \ \text{si} \ x>0 \\ -1 \ \text{si} \ x<0
\end{cases}$ 
Donc $\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+} } \dfrac{ |x|- |0|}{x-0} = 1$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-} } \dfrac{ |x|- |0|}{x-0} = -1$ donc la fonction $x \mapsto  \dfrac{ |x|- |0|}{x-0} $ n'a pas de limite en $0$, elle n'est donc pas dérivable en $0$.
b) Supposons $f$ dérivable sur $I$. Si $f$ est lipschitzienne, il existe $K>0$ tel que $\forall x,y \in I ,\ \ |f(x)-f(y)| \leq K |x-y|$.
Montrons que $f'$ est bornée. Soit $x,y \in I$ tels que $x \ne y$ alors $\dfrac{|f(x) - f(y)|}{ |x-y|} \leq K$
Donc $\lim\limits_{x \rightarrow y } \dfrac{|f(x) - f(y)|}{ |x-y|}  \leq K$ soit $|f'(y)| \leq K$. On a montré que $\forall y \in I ,\  |f'(y)| \leq K$.
Donc $f'$ est bornée sur $I$.
Réciproquement, si $f'$ est bornée sur $I$, il existe $K \geq 0$ tel que $\forall y \in I, \ |f'(y)| \leq K$.
Mais alors $\lim\limits_{x \rightarrow y } \dfrac{|f(x) - f(y)|}{ |x-y|}  \leq K$. 
Par définition de la limite, il existe un voisinage de $y$ de la forme $[y-\eta,y+\eta]$ avec $\eta>0$ où $\dfrac{|f(x) - f(y)|}{ |x-y|}  \leq K$. 
J'ai un doute ici j'ai l'impression que l'égalité qui découle $|f(x)-f(y)| \leq K |x-y|$ est valable sur tout voisinage de $y$ mais je ne vois pas comment montrer que c'est valable sur $I$ tout entier.