Espace de Hardy et régularité du prolongement sur le cercle

Niser
Niser
dans Analyse
Bonjour,
Soit $f$ une fonction holomorphe sur le disque unité ouvert $\mathbb{D}$. On sait qu'elle est dans l'espace de Hardy sur le tore  $\mathbb{T }=\partial \mathbb{D}$, i.e.
$$
    \mathcal{H}(\mathbb{T}):=\{f\in L^2(\mathbb{T})\,;\, \widehat{f}(k)=0\; \forall k\in \Z\backslash\N\}\,.
$$  
Supposons que
1-$|f|=1$ sur $\mathbb{T }$
2-$f$ est continue sur $\mathbb{T }$
Je cherche à montrer que $f$ est continue partout sur tout le disque unité fermée. Il manque ainsi à montrer la limite radiale de $f$, c'est-à-dire pour tout $\theta \in\mathbb T\,$,
$$
    \lim_{r\to1}f(r \mathrm{e}^{i\theta})=f(\mathrm{e}^{i\theta})\,.
$$
En cherchant sur le net, j'ai trouvé que dès qu'on a une fonction dans l'espace de Hardy + bornée, alors la limite ci-dessus existe pour presque tout $\theta\,.$
Est-il possible avec les conditions 1 et 2 j'arrive à montrer que c'est vrai pour tout $\theta$ ? Si oui, pouvez-vous m'aider?

-------------------------------------------------------------
Le résultat que j'ai trouvé sur le net est apparrement un classique, quelqu'un peut me dire où est-ce que je peut trouver sa démonstration?
Auriez-vous également de bonnes références pour étudier l'espace de Hardy (Je préfère les cours que les livres, mais si vous avez de bon suggestions de livre je suis preneur).

Merci ! :)


Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Le résultat standard en question s'appelle le théorème de Fatou. Je ne connais pas assez bien la démonstration pour t'aider sur ton problème.
  • Barjovrille
    Barjovrille
    Modifié (September 2022)
    Bonjour, 
    Peut être une piste pour t'aider, tu dérives ta fonction et tu étudies les dérivées de la fonction pour essayer de prouver l'appartenance a un certain espace de sobolev $W^{m,p}$ et si ta réussis à avoir un $m$ assez grand tu pourras utiliser une injection dans les fonctions continues.
  • Niser
    Niser
    Merci @Poirot

  • Niser
    Niser
    Modifié (September 2022)
    @Barjovrille
    J'écris $f(x)=\sum_{k\geq 0} a_k\mathrm{e}^{ikx}$. Et quand je dérive ça donne $$
        f^{(m)}(x)=\sum_{k\geq 0}(ik)^m a_k\mathrm{e}^{ikx}
    $$Mais je ne vois pas pourquoi $f^{(m)}$ appartiendrait à un $L^p$.
  • Lars
    Lars
    Modifié (September 2022)
    Bonjour
    Regardez le problème de Dirichlet du disque.
    $|f|=1$ est superflu.
    Pour votre problème partiel, (ie limite radiale partout existe partout qui ne prouverait pas la continuité sans explication), regardez la preuve du théorème de Weierstrass (trigonométrique) qui utilise le noyau de Poisson.
  • Barjovrille
    Barjovrille
    Modifié (September 2022)
    Désolé j'ai répondu trop vite,
    tu peux m'indiquer  comment tu fais pour avoir (ou mettre la source)  la proposition si $f$ est holomorphe sur  $\mathbb{D}$ alors c'est dans l'espace de Hardy ? parce que à la base $f$ n'est pas du tout défini sur le bord donc il y a des précisions à ajouter et ça m'éclairerai plus sur ton hypothèse  2)"$f$ est continue sur $\mathbb{T}$"

    edit. Encore lu trop vite si j'ai bien compris ta question c'est tu définis la fonction presque partout $\phi(z)= f(z)$ sur $\mathbb{D}$ et $\phi(e^{it})= \lim_{r \mapsto 1^-}f(re^{it})$ sur $\mathbb{T}$ est-ce que $\phi$ est défini sur tout les points et est continue sur le disque fermé ?

    edit 2. Ne fais pas attention à ce message, les indications de Lars donnent des réponses à ton problème.
  • Niser
    Niser
    D'accord. Merci !
  • Niser
    Niser
    Modifié (September 2022)
    Rebonjour
    J'ai encore une question liée à celle-ci.
    Supposons que maintenant on a $\phi$ une fonction dans $\mathcal{H}(\mathbb{T})$ et qui est de plus continue, i.e. $\phi\in \mathcal{C}^0(\mathbb{T})$  et je veux définir une fonction holomorphe $f$ sur $\mathbb{D}$ tel que $$
        \lim_{z\to\zeta\,, z\in \mathbb{D}}f(z)=\phi(\zeta)\,, \quad \lvert \zeta \rvert =1\,.
    $$ Est-ce que c'est correct de prendre $$
        f(z):=\int_{\zeta\in\mathbb{S}^1}\frac{1-\lvert z\rvert^2}{\lvert z-\zeta\rvert^2}\,\phi(\zeta) \,\frac{d\zeta}{2\pi i \zeta}\,,\quad z\in \D\,?$$
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Pour moi ça n'a pas trop la tête d'une fonction holomorphe, à cause du $|z|^2$.
  • Niser
    Niser
    D'accord. Avez-vous des suggestions ?
  • Calli
    Calli
    Modifié (September 2022)
    Je n'avais pas assez réfléchi, désolé. Formellement, on a $$\begin{eqnarray*}f(z)&=&\int_{\zeta\in\mathbb{S}^1}\frac{1-\lvert z\rvert^2}{\lvert z-\zeta\rvert^2}\,\phi(\zeta) \,\frac{d\zeta }{2\pi i \zeta }\\[1mm] &\overset{(1)}=& \int_{\zeta\in\mathbb{S}^1}\frac{1-\lvert z\rvert^2}{\lvert z-\zeta\rvert^2}\left( \sum_{k=0}^\infty \hat\phi(k)\zeta^k \right)\frac{d\zeta }{2\pi i \zeta }  \\[1mm] &\overset{(2)}=& \sum_{k=0}^\infty \hat\phi(k) \int_{\zeta\in\mathbb{S}^1}\frac{1-\lvert z\rvert^2}{\lvert z-\zeta\rvert^2}\,\zeta^k \,\frac{d\zeta }{2\pi i \zeta }  \\ &\overset{(3)}=&  \sum_{k=0}^\infty \hat\phi(k) z^k \end{eqnarray*}$$ et $\sum\limits_{k=0}^\infty \hat\phi(k) z^k$ est holomorphe. L'égalité $(1)$ découle du fait que $\phi\in\mathcal{H}(\Bbb T)$, et l'égalité $(3)$ est justifiée par le fait que $z\mapsto z^k$ est l'unique fonction harmonique sur $\Bbb D$ qui vaut $\zeta\mapsto \zeta^k$ sur $\Bbb T$ (unicité de la solution du problème de Laplace avec condition de Dirichlet). Maintenant, il faudrait justifier l'égalité $(2)$.

    Edit : Je crois qu'on peut justifier $(2)$ à l'aide du théorème de Fejér.
  • Lars
    Lars
    Modifié (September 2022)
    Bonsoir
    Avez-vous examiné la solution donnée par le problème de Dirichlet ?
    Vous trouverez la bonne représentation intégrale.
    Ps. Votre représentation intégrale n'a aucun sens...sauf si je n'ai rien compris.
    Quelle est la variable d'intégration dans cette intégrale de Cauchy  ? (est-ce $d\zeta/\zeta$ au lieu de $dz/z$ ?).
  • Calli
    Calli
    Ah oui tu as raison @Lars. Je n'ai pas fait attention quand j'ai recopié, mais ça doit être $\frac{d\zeta} \zeta$ au lieu de $\frac{dz} z$. J'ai corrigé dans mon message précédent. 
  • Niser
    Niser
    Merci ! 
    Oui, j'ai écrit $\frac{dz}{z}$ au lieu de $\frac{d\zeta}{\zeta}$ sans faire attention, je vais corriger.
  • gilles benson
    gilles benson
    Modifié (September 2022)
    Bonsoir, plusieurs références plutôt en anglais.
    1) Bounded Analytic Functions de Garnett chez Academic Press réédité par Springer
    2) $ H^p$ Spaces de Duren chez Academic Press réédité par Dover
    3) Banach Spaces of Analytic Functions de Hoffman réédité par Dover
    Il y a un bouquin en français de Nikolskii chez Belin.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Lars
    Lars
    Modifié (September 2022)
    Bonjour
    À Calli, pour le calcul
    Si on note $\sum_{n=0}^{\infty} c_n(f)e^{int} $ la série de Fourier (il s'agit d'une notation formelle, on ne se préoccupe pas des questions de convergence) de $f(t):=\varphi (e^{it}) $ alors la série entière $S(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n(f) z^n$ est de rayon 1 (Cauchy-Riemann implique u'e la suite $(c_n(f))$ tend vers 0).
    Pour la représenter en fonction de $\varphi$, on se souvient qu'on peut définir un produit de convolution sur $L^{1}_{2\pi}$ qui vérifie $\forall g, h \in L^{1}_{2\pi}, \forall n\in \Z, c_n(g*h)=c_n(g) c_n(h)$ (voir un cours sur les séries de Fourier).
    On pose $z=re^{it}$ et on considère le noyau de Poisson $\forall r\in] 0;1[, P_r(t):=\sum_{n\in \Z} r^{|n|}e^{int} $ de sorte que $S(z)=f*P_r(t), z=re^{it}$ ce qui donne une représentation intégrale qui est celle donnée plus haut (si je ne me suis pas trompé dans les calculs).
    A ce stade, rien ne prouve que $S$ est continue sur le disque fermé (pour être plus précis : prolongeable par continuité égale à $\varphi$ sur le cercle).
    Il se trouve que c'est le cas (étape intermédiaire possible $f*P_r$ converge uniformément vers $f$ lorsque r tend vers 1 par valeurs inférieures et pour $f$ continue. Mais il me semble que ce n'est pas la méthode classique pour obtenir la continuité. Le mieux est de consulter un livre qui traite le problème de Dirichlet du disque. PS : avec le résultat intermédiaire ci-dessus, je n'arrive pas à prouver la continuité. Résultat partiel possible avec le théorème possible avec théorème sectoriel d'Abel).

    NB si on cherche juste à vérifier qu'une fonction est analytique (ou pas), il suffit de vérifier les conditions de Cauchy-Riemann. Si la fonction est représentée avec les variables $r, \theta$ on écrit ces conditions en $r,  \theta$.
    Je m'aperçois en rédigeant qu'on pourrait prendre un noyau de convolution différent puisque $f$ a ses coefficients de Fourier strictement négatif tous nuls. On pourrait donc prendre $Q_r(t)=\sum_{n=0}^{+\infty} r^n e^{int}$ qui devrait donner une représentation intégrale plus simple.
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