Espace vectoriel normé de dimension finie

Joaopa
Modifié (September 2022) dans Analyse
Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel normé de dimension finie. Sans utiliser l'équivalence des normes,  est-il possible de montrer qu'une suite $(u_n)_n$ de $E$ converge si et seulement si les suites composantes de $(u_n)_n$ convergent ?
La réciproque est claire. Mais je n'arrive pas à montrer le sens direct sans utiliser la norme infinie relative à une base fixée.
Peut-on travailler seulement avec la norme donnée pour l'EVN ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Personnellement, je ne sais pas faire sans revenir d'une façon ou une autre à l'exploitation de l'équivalence des normes.
  • Joaopa
    Modifié (September 2022)
    Je ne demande pas qui ne sait pas le faire, mais qui sait le faire et dans ce cas partager ses connaissances. Ou alors donner une preuve que l'on a l'équivalence.
  • Tu es très désagréable dans ton message mais soit...
    Peux-tu toi partager ton niveau pour qu'on puisse adapter la réponse donnée ?
  • Riemann_lapins_cretins
    Modifié (September 2022)
    Disons que ce n'est pas juste qu'on n'en connaît pas, mais que ça semble peu plausible car : 

    -Une norme a priori ne nous dit rien sur sa manière d'agir sur les coordonnées

    -Un argument propre à la définition seule de norme serait probablement adaptable en dimension infinie. Ce n'est pas anodin si on a encore "convergence uniforme implique ponctuelle" puisqu'on peut se ramener à la technique démonstrative du cas de la dimension finie, mais que ça ne marche pas pour les normes $L^p$ par exemple
  • En plus, pour tout $n$, et toute norme $N$ sur $\mathbb{R}^n$, les phrases « toute suite converge pour $N$ si et seulement si les suites composantes convergent » et « la norme $N$ et la norme infinie sont équivalentes » sont équivalentes.
    Donc, démontrer l’une « sans passer » par l’autre… Outre le fait que « passer par » ne veut rien dire…
  • Calli
    Modifié (September 2022)
    Bonjour,
    JLapin a dit :
    Tu es très désagréable dans ton message
    +1

    On peut néanmoins faire une récurrence sur la dimension. Soient $E$ un evn de dimension $d$, $(e_i)$ une base de $E$ et $H=\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_d)$. Par hypothèse de récurrence, toute suite $(v_n)$ de $H$ converge ssi ses composantes dans la base $(e_2,\dots,e_d)$ convergent. Comme $\Bbb R$ est complet, on en déduit que $H$ est complet. Donc $H$ est fermé dans $E$, puis la projection $E\to\Bbb R e_1$ de noyau $H$ est continue. Donc si une suite $(u_n)$ de $E$ converge, alors sa composante sur $e_1$ converge aussi. Et de même pour les autres composantes.
  • Merci Calli.
  • Calli a dit :
    la projection $E\to\Bbb R e_1$ de noyau $H$ est continue.
    Mais comment on démontre qu'elle est continue sans précisément utiliser l'équivalence des normes ? C'est bonnet blanc et blanc bonnet...
  • Mmmmh, @Calli, d'ailleurs, pour démontrer que $H$, muni de la norme $N$, est complet, comment tu fais ? Pourquoi une suite de Cauchy pour $N$ devrait avoir ses composantes de Cauchy ?
  • @Bibix, c'est un fait général : pour tout espace vectoriel topologique réel $E$ de dimension quelconque et toute forme linéaire $f$ sur $E$, $f$ est continue ssi son noyau $H$ est fermé. Pour une preuve générale, voir https://www.math.ens.psl.eu/~gallagher/AnalyseFonctionnelle 2019-2020.pdf page 11. Dans le cas où $E$ est un evn, on peut faire une preuve plus simple par contraposée, en montrant que si $f$ n'est pas continue, alors $H$ est dense dans $E$. En effet, soient $x\in E$ et $\varepsilon >0$. Il existe $y\in E$ tel que $\|y\|\leqslant 1$ et $f(y)=\frac{f(x)}\varepsilon$. Alors $x-\varepsilon y\in B(x,\varepsilon)\cap H$.
  • Calli
    Modifié (September 2022)
    @Georges Abitbol, comme je l'ai dit, l'hypothèse de récurrence implique que pour toute suite $(v_n)$ de $H$ qui converge, ses composantes dans la base $(e_2,\dots,e_d)$ convergent. Donc, pour tout $i\in[\![2,d]\!]$, la projection $p_i:H\to\Bbb Re_i$ de noyau ${\rm Vect}\{e_j, j\in[\![2,d]\!]\setminus\{i\}\}$ est continue. Donc il existe $c_i>0$ telle que : $\forall h\in H, |p_i(h)|\leqslant c_i \|h\|$. Donc si $(v_n)$ est de Cauchy, alors la suite composante $(p_i(v_n))$ aussi.
  • Je sens que vous allez me dire "mais c'est bien plus compliqué que l'équivalence des normes ta méthode !". Ben oui. Mais c'est Joaopa qui veut se priver du meilleur outil qui permet de démontrer ce résultat. Moi si je dois choisir, j'utilise l'équivalence des normes.
  • Positif
    Modifié (September 2022)
    Contexte :

    Imagine une suite infinie de coordonnées, comme les séries de Fourier. Une suite de fonction $f_n$ qui converge vers $f$ au sens des séries de Fourier. Le problème, c’est que si on se fixe $\delta > 0$, on ne peut pas a priori se trouver un rang $N$ tel que si $n \geq N$, toutes les coordonnées de $f - f_n$ soient inférieures à $\delta $, ce qui est possible avec les suites de $\mathbf{R}^p$ précisément parce  que les normes sont équivalentes et que donc on peut prendre la norme sup. 

    Est-ce que je suis clair ? En dimension finie, la convergence “coordonnées par coordonnées” est uniforme, en dimension infinie elle ne l’est pas.
    ---> I believe in Chuu-supremacyhttps://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
  • Georges Abitbol
    Modifié (September 2022)
    Non, c'est pas ça que je vais dire ! C'est que je pensais qu'il devait forcément y avoir de la compacité cachée quelque part. Et je n'en vois pas dans ta démo... Bref, je préfère croire que tu fais des erreurs plutôt que d'accepter que mon idée vague était fausse, mais je suis prêt à changer d'avis :D

    EDIT. J'insiste en disant que non, ce n'est pas "plus dur" que l'équivalence des normes, mais "plus facile" !
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