Martingales - Définition

Bonjour
Je n'arrive pas à comprendre ce qu'est une martingale. Les questions les plus basiques me venant à l'esprit sont les suivantes.
- Que signifie concrètement l'égalité caractéristique des martingales ? Quel est le lien avec le futur du processus ?
- Comment se représenter une martingale ?
- Comment, si je détiens à l'heure actuelle une représentation correcte du concept, reconnaître une martingale, ne pouvant pas me projeter dans le futur ? 
Merci d'avance :smile:

Réponses

  • julian
    Modifié (September 2022)
    Commence par voir les espérances conditionnelles. Puis étudie la notion de filtration. 
  • julian
    Modifié (September 2022)
    Pour plus de détails, voir le cours de Thierry Lévy, ou de Niels Berglund... En allant sur leur site tu trouveras ton bonheur. 
  • Scalpel
    Modifié (September 2022)
    julian a dit :
    Pour plus de détails, voir le cours de Thierry Lévy, ou de Niels Berglund... En allant sur leur site tu trouveras ton bonheur. 
    Salut julian, merci pour les références ! 
    J'ai déjà attaqué les espérances conditionnelles et les filtrations, et j'avais l'impression de les avoir saisies, mais peut-être que l'incompréhension vient de là (mauvaise représentation, pas assez de profondeur...), aurais-tu quelques pistes à creuser ? 
  • Pour moi la référence en martingales c'est David Williams : Probabilities with Martingales

    Une martingale c'est un jeu en moyenne équitable pour tous les deux joueurs. Autre exemple :  la température d'une pièce est une martingale. La meilleure approximation de la température dans une heure est la température à cet instant. 

    $\mathbf{E} [ T_{t+1} | \mathrm{tout \ ce \ qu ’ on \ sait \ jusqu’à \ } t ] = T_t $
    ---> I believe in Chuu-supremacyhttps://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
  • C'est en quelque sorte une suite de variables aléatoires qui nous donne "de plus en plus d'information" sur elle-même au fur et à mesure que le temps se déroule. Ces notions de temps en probabilités seront peut-être plus claires au moment de l'étude des chaînes de Markov.

    Mais c'est aussi une construction purement mathématique qui sert à étudier d'autres variables aléatoires de manière détournée.
    Chaque fois que je manipulais des martingales en Master 1 et 2, la façon de faire n'était pas "montrer que notre variable aléatoire est une martingale" mais plutôt "On bricole une martingale à partir de la variable aléatoire qui nous occupe, puis on utilise les propriétés purement mathématiques des martingales -notamment la convergence presque sûre qui est la raison d'être de leur puissance- pour en déduire des choses sur la variable d'origine".
    Les martingales sont un outil plus qu'une fin dans beaucoup de problèmes. Ce sont un peu comme des fonctions auxiliaires qu'on introduirait dans certains problèmes d'analyse pour étudier d'autres fonctions.
  • Merci à vous deux, c'est beaucoup (beaucoup !) plus clair. 

    C'est en quelque sorte une suite de variables aléatoires qui nous donne "de plus en plus d'information" sur elle-même au fur et à mesure que le temps se déroule. Ces notions de temps en probabilités seront peut-être plus claires au moment de l'étude des chaînes de Markov.
    Je me faisais aussi cette réflexion (et ça complète bien ce qu'a dit Positif !). On cherche la meilleure approximation du futur (avec la précision dont on dispose) si je comprends bien, et cela prend la forme d'une espérance conditionnelle...
    Mais c'est aussi une construction purement mathématique qui sert à étudier d'autres variables aléatoires de manière détournée.
    Chaque fois que je manipulais des martingales en Master 1 et 2, la façon de faire n'était pas "montrer que notre variable aléatoire est une martingale" mais plutôt "On bricole une martingale à partir de la variable aléatoire qui nous occupe, puis on utilise les propriétés purement mathématiques des martingales -notamment la convergence presque sûre qui est la raison d'être de leur puissance- pour en déduire des choses sur la variable d'origine".
    Les martingales sont un outil plus qu'une fin dans beaucoup de problèmes. Ce sont un peu comme des fonctions auxiliaires qu'on introduirait dans certains problèmes d'analyse pour étudier d'autres fonctions.
    Concernant le dernier paragraphe, je n'ai pas encore trop fait d'exercices sur le concept (c'est le début de l'année :p). Dit comme ça, je vois mal comment on pourrait transformer une variable aléatoire figée, intemporelle, en un processus stochastique; pour l'instant, j'ai l'impression qu'on peut en faire une limite de martingale, mais je ne vois pas trop ce que ça pourrait nous apporter. Je serais curieux de connaître la méthode, ainsi que ses fruits. 
  • > Dit comme ça, je vois mal comment on pourrait transformer
    > une variable aléatoire figée, intemporelle, en un processus stochastique

    Imaginons que tu souhaites étudier une variable aléatoire $Z$ "figée" qui soit assez compliquée et dépende d'une infinité de v.a. $X_1,X_2,\dots$ (et ne dépende pas d'autre chose). Une idée parfois assez maline est d'introduire le processus artificiel
    $$M_n=\mathbb{E}[Z\ |\ X_1,\dots,X_n],$$
    qui peut être une martingale. A la limite on peut espérer que $M_n$ converge vers un truc $M_\infty$ et que 
    $$M_\infty=\mathbb{E}[Z\ |\ X_1,\dots]=Z.$$
    En effet, ce sera le cas si $Z$ est entièrement déterminée par les $X_k$.

  • Scalpel
    Modifié (September 2022)
    Lucas
    Merci beaucoup, je creuse ça !
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
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