Différentiabilité d'une application

Mar0wwa
Mar0wwa
Modifié (September 2022) dans Topologie
Bonjour, je suis bloqué il y a longtemps dans un exo de différentiabilité, voilà l'énoncé.
Soit $f$ l'application $\begin{array}[t]{cccc}f:& \R^n&\to&\R ,\\                                     &x&\mapsto& \|x\| \end{array}\ $ où $\|x\|= \sqrt{<x,x>}$.
Vos aides svp.

Réponses

  • Mar0wwa
    Mar0wwa
    Modifié (September 2022)
    J'ai oublié de dire que à la fin de cet exercice, il y'a une indication où il est écrit : " on peut considérer la fonction. X ----> <x,x> ensuite déduire le résultat " 
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour,
    Tu as mangé au moins la moité de l'énoncé.
    La fonction $x\mapsto \langle x,x\rangle$ est elle différentiable ?
    La fonction $u\mapsto \sqrt u$ est elle différentiable sur $[0,+\infty[$ ?
    Où est-ce que ça va coincer ?
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    Modifié (September 2022)
    Autre approche, moins pédagogique (car elle n'utilise pas la "chain rule"), mais tu peux tout aussi bien calculer les dérivées partielles.
  • Mar0wwa
    Mar0wwa
    Modifié (September 2022)
    GaBuZoMeu a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2379767/#Comment_2379767
    [Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
    J'ai vérifié que $<X,x>$ est différentiable sur $\R $.
    Et on a $\sqrt u$ est différentiable sur $\R^+ $, 
    Donc la différentiabilité va être vérifiée seulement sur $\R^+ $.
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    Je crois que tu dois relire ton cours de composition de fonctions ou te reposer un peu.

    Pour commencer, quelle est la dérivée de $<x,x>$ que tu as trouvée ?
    Que dit exactement le théorème de composition des dérivées ? Certes, la racine n'est dérivable que sur $\R_{+}^{*}$ (on n'oublie pas d'exclure 0 !), mais est-ce que cela veut vraiment dire que tu ne peux pas prendre de $x$ négatif en argument ? Ça n'aurait pas beaucoup de sens puisque $x$ est un vecteur.

    Bref, donne déjà la première dérivée que tu as trouvée, énonce le théorème de composition des dérivées, et applique-le au mot près. Il n'y a pas vraiment de piège.
  • Mar0wwa
    Mar0wwa
    J'ai réussi à résoudre l'exercice, merci beaucoup à vous tous.
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