De quelle hauteur tomber pour se casser une jambe ?

Bonjour.
Je me souviens de mon premier dm de physique : la question était celle du titre. Des années plus tard j'essaie de retrouver une réponse (premier dm, notions élémentaires sur les ressorts pour toute connaissance donc). Je préparais un cours particulier pour un élève et j'ai voulu le retenter.

L'approche qui me paraît naturelle est évidemment la conservation de l'énergie, pour en déduire l'allongement de la jambe au point d'impact en supposant que toute l'énergie cinétique est remise sous forme d'énergie potentielle élastique, pour avoir une forme du type $kx^{2} = m.2gh$, avec $m$ la masse de l'individu, $k$ la raideur de sa jambe, et $h$ la hauteur cherchée.
Après deux trois recherches sur le module de Young, j'ai ma formule $k = \frac{SE}{l}$ en assimilant la jambe à un seul os cylindrique, de longueur on va dire 80 cm et de section $4\pi.10^{-4} m^2$, et où $E$ est le module de Young de $1,8.10^{10} Pa$.

Le problème est de traduire la condition "quand ça va craquer". Je vois deux solutions : dire, un peu facilement, que ça craque si l'allongement $x$ atteint une fraction de la valeur à vide "raisonnablement envisageable", comme un allongement égal à la longueur à vide tout court par exemple (je trouve 5m et des brouettes, mais je vise très large).

L'autre, qui demande des notions sur la pression que l'élève à qui je destine l'exercice n'a pas encore, est de chercher la pression de rupture d'un os sur internet, calculer la force associée à mon allongement calculé au début, et voir quand la rupture est atteinte. Elle est moins aléatoire sur les postulats.

En bidouillant ma formule, en notant $P_{l}$ la pression limite que l'os peut subir (valant apparemment $10^8 Pa$) et partant de ma formule, je trouve $h = \frac{SlP_{l}}{2Egm}$.
Ma formule ne me paraît pas affolante sur les dimensions et dépendances en les variables mais je n'obtiens que quelque chose de l'ordre du demi mètre.

Bref, des experts pour m'aider ?
Je considère vraiment le moment de chute uniquement.

Réponses

  • La physique est une science expérimentale. As-tu essayé une chute de 5m pour ajuster apres ?
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Je ne maîtrise pas assez les mesures d'incertitude pour ne pas fausser le résultat, je laisse l'expérimentation à des physiciens compétents.
    La sécu financera tout en plus : plus à se plaindre des problèmes de budget dans la recherche !
  • Il faut faire attention avec ce fil, des enfants nous lisent peut-être. Ils pourraient ne pas savoir qu'on plaisante, on risquerait de se retrouver avec des enfants qui font l'expérience dont vous parlez ici.
  • Ou ils pourraient croire que les participants du fil ont fait l'expérience mais sont tombés sur la tête et non sur leurs pieds.
  • Positif
    Modifié (September 2022)
    J’aimerais enrichir ce thread avec des considérations sur la musculation, je ne pense pas que cela nécessite un second topic, si c’est le cas les modérateurs sont libres de le supprimer.
    Imaginons deux hommes, le premier va à la salle de musculation et soulève $10 \times$ une haltère de 9 kg. L’autre soulève $30 \times $ une haltère de 3 kg. Si on suppose que l’amplitude du bras est de 50 cm, on peut se dire que la quantité d’énergie déployée pour les deux tâches est :
    $ E = 10 \times \frac12 g h \cdot 9 = 30 \times \frac12 g h \cdot 3 $
    Cela devrait “se ressembler” du point de vue physique. Si je fais trois séries avec l’haltère de 9 kg de dix répétitions et trois séries avec l’haltère de 3 kg de 30 répétitions, je déploie en $O$ la même quantité d’énergie.
    Je comprends que dans le corps humain, il y a des mécanismes de “threshold” qui s’enclenche lorsqu’un certain niveau (de poids, de calories...) est atteint, mais dans ce cas je modélise plus une décharge d’énergie qu’une absorption d’énergie. Toutes les absorptions d’énergies ne se valent pas car les molécules ne sont pas forcément les mêmes (e.g. : manger un Twix et manger une courgette) mais les décharges d’énergie devraient être plus “proches” .
    On peut se dire que c’est une question de puissance. Dans le cas de l’haltère de 9 kg, si cela me prend $\tau$ secondes de faire un mouvement, je déploie une puissance de $P_1 = \frac{E}{ 10 \tau } $ alors que dans le second cas avec l’haltère de 3 kg, je peux déployer une puissance de $P_2 = \frac{E}{30 \tau } $ (car je fais trente répétitions) ; soit trois fois moins. 
    Appliquons cela à la course à pieds. Le premier homme parcourt 10 km en courant, le second 10 km en marchant. Le premier homme met 1h à accomplir cet effort tandis que le second met 2h , en termes de puissance le premier homme déploie une puissance deux fois supérieure. Ça semble être une modélisation correcte mais ça n’explique pas pourquoi le muscle est plus fatigué si je déploie $P$ pendant une période $\tau$ qu’une puissance $ \frac{P}{2} $ sur une période $2 \tau $. Peut être qu’on peut assimiler le muscle à un ressort et réfléchir à comment un ressort se déforme sous une certain puissance. Peut être que la déformation ressemble à $\left( \frac{ P }{P_{\mathrm{ref} } } \right)^2 $ ce qui expliquerait pourquoi la réponse n’est pas linéaire en $P \times \tau $. 
    ---> I believe in Chuu-supremacyhttps://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
  • Merci @cohomologies j'ai oublié  que octobre nous lit. 
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Pour le cas de Positif la réponse doit se situer au niveau chimique (acide lactique et autres joyeusetés) plus que physique.
  • JLT
    JLT
    Modifié (September 2022)
    Positif a dit :
    Appliquons cela à la course à pieds. Le premier homme parcourt 10 km en courant, le second 10 km en marchant. Le premier homme met 1h à accomplir cet effort tandis que le second met 2h , en termes de puissance le premier homme déploie une puissance deux fois supérieure.
    Je ne vois pas pourquoi la puissance serait proportionnelle à la vitesse.
  • Positif
    Modifié (September 2022)
    JLT
    Parce que je suis trop fainéant pour calculer les termes en $x^2$ du développement de Taylor.
    ---> I believe in Chuu-supremacyhttps://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
  • L'avantage de la hauteur que tu proposes est que les autorités pourront instantanément répondre à la question "mais qu'est-ce qui lui est passé par la tête ?" à la simple vue du cobaye.
  • Renart
    Modifié (September 2022)
    En général quand on se réceptionne après un saut on amortit avec tout un tas de trucs : fléchissement de diverses articulations, chaire sous les talons et caoutchouc des chaussures sous la chaire et pour finir sol meuble si on ne saute pas sur du granite ou du béton. Si je comprend bien tes calculs tu négliges tous ces effets. 50 cm ne me parait donc pas aberrant.  Si tu ne me crois pas tu peux toujours essayer de sauter de cette hauteur pieds nus sur du béton, talons les premiers et sans fléchir les jambes, à mon avis tu ne feras l'expérience qu'une fois ;)
    @JLT : c'est plus ou moins ce qui est observé empiriquement. D'ailleurs il semblerait que l'énergie déployée pour courir 10km diminue légèrement au fur et à mesure que la vitesse de course augmente.
  • Riemann_lapins_cretins
    Modifié (September 2022)
    En fait j'ai pensé exactement à ça Renart : dans la vie courante on ne peut pas ne pas amortir le choc.
    Je pensais aussi au pied qui avec sa surface importante prenait une bonne part du choc sur lui.
    Puis j'ai appris en faisant des recherches que des gens s'étaient brisé le fémur en sautant d'une table. Ce qui au final m'a rassuré (vous m'avez compris, je n'ai rien contre ces pauvres gens).

    Mais je suis content de voir que c'est bien la simplification de la modélisation la responsable et non le raisonnement en lui-même (je compte poser cette question ouverte à un élève en cours particulier qui ne connaît que la loi de Hooke comme je disais, donc on fait très très simple ; je me suis juste assuré de la légitimité d'ignorer la raideur des muscles et de considérer tibia et fémur comme un seul os. Pas envie de parler de déplacement du centre de gravité, de fléchissement des jambes, etc, on reste vraiment dans l'optique d'un jeune étudiant de sup tout frais débarqué de la suite logique des événements).

    Je ne doutais pas de ma formule (elle colle dimentionnellement et en les variations selon les paramètres) mais j'avais besoin d'être rassuré. Encore merci à Renart !
  • Area 51
    Modifié (October 2022)
    Ce problème relève de la biomécanique. Mais m'est avis qu'un os se comporte différemment en compression ou en traction (asymétrie), et il y a peu de chances que lors d'une chute, l'os soit soumis à une contrainte d'allongement. De plus, il est nettement plus probable que ce soit une rupture par contraintes de flexion (moment de la force). Connaître le mode de rupture I, II ou III (voir e.g. McClintock).
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