Constat étrange

anticrate
Modifié (September 2022) dans Arithmétique
Bonjour j'observe avec une calculatrice que plus on avance dans les puissances du nombre d'or plus on se rapproche d'un nombre entier.
Voici une liste de résultats avec l'éloignement du nombre entier le plus proche à coté :
(puissance de phi)(résultat)(distance de l'entier le plus proche)
(1)(1,618..)(0,381..)
(2)(2,618..)(0,381)
(3)(4,236..)(-0,236..)
(4)(6,854..)(0,145..)
(5)(11,090..)(-0,090..)
(6)(17,944..)(0,055..)
(7)(29,034..)(-0,034..)
(8)(46,978)(0,021..)
(12)(321,9968..)(0,0031..)
(20)(15126.99993..)(0,00008..)
(30)(1860497.9999994..)(0,00000005..)
Il semble que la suite des distance au nombre entier le plus proche forme une série de puissance négatives de phi.
Qu'en pensez vous ? Peut-on résoudre cette conjecture ? 

Réponses

  • Dom
    Dom
    Modifié (September 2022)
    Bonsoir,
    ici, on trouve des choses, puis ta conjecture (écriture de manière étonnante :
     « limite $\varphi^n$ = nombre entier »… c’est moche… il n’y a pas de limite réelle… mais c’est l’idée. 
    Cordialement
    Dom
  • lourrran
    Modifié (September 2022)
    J'ai le sentiment d'avoir vu différentes discussions sur le sujet. Un marronnier.
    Regarde la suite ""de Fibonacci"", commençant par 1,2,3,4,7,11,18,29,47  etc etc ... en additionnant à chaque fois les 2 derniers termes.
    Tu vas constater que tu arrives sur la série que tu regardes (les arrondis de tes nombres, ce sont mes nombres).
    Je pense que c'est un élément pour démontrer ton résultat.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • On doit montrer sans grande difficulté que $\varphi^k-(-1)^k/\varphi^k$ est un entier pour tout $k$, plus précisément que c'est la suite de Lucas A000032 de l'OEIS. Comme $1/\varphi^k$ est tout petit, il est clair que $\varphi^k$ est proche d'un entier lorsque $k$ est grand.
  • anticrate
    Modifié (September 2022)
    @Dom
    Dans ton lien ça dit que les puissances de phi ont pour décimales les puissances négatives de phi. Il suffirait donc de trouver pourquoi. 
  • Je viens de l'expliquer. 
  • anticrate
    Modifié (September 2022)
    @Math Coss
    C'est vrai. J'avais pas tout saisi. 
    Phi^k semble tendre effectivement vers la suite de Lucas. 
  • Charlie12
    Modifié (September 2022)
    Bonjour
    On note $\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et $\psi = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$.
    Pour tout $n \geq 0$, $\varphi^n + \psi^n$ est un entier (en posant $u_n = \varphi^n + \psi^n$, on a $u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n$, et $u_0 = 2$, $u_1 = 1$), qu'on note $a_n$.
    Et $a_n - \varphi^n = \psi^n$, qui tend vers 0 quand $n$ tend vers $+ \infty$. D'où le fait que les puissances de $\varphi$ se rapprochent d'entiers.
    De plus, puisque $\psi = - \dfrac{1}{\varphi}$, on obtient $a_n - \varphi^n  = (-\dfrac{1}{\varphi})^n = (- \varphi)^{-n}$, d'où la conclusion (si $n \geq 2$).
  • anticrate
    Modifié (September 2022)
    @Charlie12
    Merci. J'ai compris ton explication.
    @LP2
    Intéressant
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