Questions aux (anciens et nouveaux) chercheurs en algèbre

Le sujet est peut-être un peu étrange, mais je voulais quand même poser la question. Il y a sur ce forum des chercheurs, anciens chercheurs, doctorants, anciens doctorants qui font ou ont fait de la recherche en algèbre. Je voudrais leur demander : quelle place ont les ordinateurs et la programmation dans le travail de recherche aujourd'hui ? (pour la petite histoire, mon intérêt pour la question provient d'une conversation que j'ai eue ailleurs sur l'internet mondial)
Les deux "domaines" de l'algèbre où je vois sans problème apparaitre le numérique, c'est le calcul matriciel et les équations polynomiales (peut-être les corps finis). En dehors de ça, dans la théorie des groupes, la théorie des anneaux/l'algèbre commutative, je vois moins comment ça interviendrait. Dès qu'on sort du domaine "fini" et des choses combinatoires, dans la "théorie abstraite", je conçois mal la chose : l'idée que je me fais de "la recherche", c'est qu'on est dans la démonstration, et là, à part des assistants de démonstration ou un exemple numérique tordu obtenu par ordinateur, je ne vois pas. Cependant, un quelqu'un de l'internet me disait que la recherche aujourd'hui se fait mal sans un ordinateur. Donc je pose la question.
Je pars du principe que, ne faisant pas de recherche, c'est probablement parce que l'état actuel des domaines en question est assez loin de mon niveau de connaissances que "je ne vois pas". Mais ça m'intéresserait de savoir, donc, si vous voulez bien me raconter un peu votre vie :D

Réponses

  • gerard0
    Modifié (August 2022)
    Bonjour.
    Je ne suis pas chercheur (même ancien), mais les logiciels formels font du calcul algébrique, sans oublier certains logiciels spécialisés. Donc il est possible d'expérimenter une idée sur des exemples.
    La recherche sur le calcul formel a fait progresser fortement les techniques algébriques (voir Mignote, Davenport & al).
    Cordialement.
  • Ma recherche personnelle (en théorie des nombres) est très théorique. Cependant ça ne fait jamais de mal de travailler avec des exemples. Et souvent les-dits exemples ne sont réellement exploitables qu'à l'aide d'une machine.
  • Je suis intéressé.
  • Maxtimax
    Modifié (August 2022)
    Pour les exemples (quand tu fais des groupes finis, ou de présentation finie; ou des anneaux "contrôlés" par des données finies, ...) les logiciels d'algèbre peuvent être très pratiques.

    Je n'en ai encore jamais utilisé, mais il y a peu de temps, j'ai failli, pour essayer de me faire une idée des inversibles d'un certain anneau (finalement je ne l'ai pas fait pour d'autres raisons), et ça m'est arrivé à quelques reprises de me dire qu'un ordi pourrait m'aider sur tel ou tel exemple. 

    Après, les ordis c'est aussi utile pour TeX :-D 
  • TeX oui mais je parle vraiment du travail de recherche. Dans tout ce que tu me dis, il y a "fini", donc pour l'instant tu confirmes un peu mon intuition.
  • Heuristique
    Modifié (August 2022)
    Bonjour,
    Je précise que je ne fais pas vraiment de recherche en algèbre fondamentale, j'ai juste quelques rapides notions d'algèbre et d'informatique.
    Pour les ordinateurs, ce n'est pas tant le caractère fini qui compte que la représentation finie. Par exemple, tu peux sans problème faire des calculs dans $\mathbb{Z}[\frac{1+i\sqrt{19}}{2}]$. Même si cet anneau n'est pas fini, il peut se représenter en machine de manière finie et les diverses opérations y sont décidables.
    Il y a d'ailleurs beaucoup de questions sur la calculabilité dans les différentes structures algébriques et sur le calcul formel qui permettent ensuite de faire des tests sur machine. Tout dépend à quel point ta propriété est décidable.
    Si la propriété $P$ qui t'intéresse est décidable (Alléluia), tu rentres une structure et ton ordi te répond si oui ou non elle vérifie $P$.
    Si $P$ est semi-décidable, tu pourras avoir un résultat approximatif. Si tu laisses tourner un bon moment ton ordi, tu auras soit un contre-exemple, soit tu pourras conjecturer que la propriété est vérifiée. Ce n'est pas une preuve mais cela te permet de vérifier ou non si une piste de recherche semble valide.
    Si $P$ est encore plus indécidable, je t'accorde que ça devient tendu  d'utiliser un ordi...
    En espérant ne pas être trop à côté de la plaque sur ce que font certains algébristes en recherche...
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