Homomorphisme d'anneaux

courage
courage
Modifié (August 2022) dans Algèbre
Bonjour, dites-moi s'il vous plait, est-ce que l'homomorphisme ci-dessous est bien défini :
$f:\Z_6\to\Z_2$ définie par : $f(0)=f(2)=f(4)=0$ et $f(1)=f(3)=f(5)=1$.

Réponses

  • Homo Topi
    Homo Topi
    Il y a deux questions ici.
    1) Est-ce que $f$ est une application bien définie : cf ce que je raconte ici
    2) Est-ce que c'est bien un morphisme d'anneaux : tu peux vérifier ça toi-même.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour,
    $\Z/6\Z$ a deux idéaux autres que $\{0\}$ et lui-même. En particulier l'idéal engendré par (la classe de) 2.
    Il me semble que tu tournes autour de questions (ici et dans l'autre fil) pour lesquelles tu n'as pas les outils de base, par exemple la notion d'idéal. Commence donc par apprendre à utiliser ces outils de base.
  • courage
    courage
    Homo Topi  C'est fait, j'ai vérifié, elle est bien définie et aussi c'est un homomorphisme d'anneaux. Merci.



  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ton $f$ est simplement le passage au quotient par l'idéal engendré par $2$.
  • courage
    courage
    Modifié (August 2022)
    GaBuZoMeu Exactement, j'ignore beaucoup de choses, et les outils de base aussi, je suis entraine d'apprendre en vous posant parallèlement des questions (qui semblent banales pour vous).
    Pourquoi tu m'as rappelé les idéaux de l'anneau $\frac{Z}{6Z}$? je ne vois pas la liaison entre ma question et ta réponse.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Modifié (August 2022)
    As-tu lu mon message de 18:46 ?
    Je vois dans ton profil que tu as posé pas mal de questions sur les idéaux. Visiblement tu ne maîtrises pas ce sujet. Je t'engage une nouvelle fois à étudier ces bases dans un manuel d'algèbre.
  • courage
    courage
    Modifié (August 2022)
    GaBuZoMeu  Merci.
  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    Une façon alternative de voir ça.
    $\mathbb Z$ est l'anneau libre de base $\emptyset$ (à vérifier).
    Donc pour tout anneau $A$, il existe un unique morphisme d'anneaux de $\mathbb Z$ vers $A$. Donc, il existe un unique morphisme d'anneaux de $\mathbb Z$ vers $\mathbb Z /2 \mathbb Z$, notons le $g$, on a $g(6)=6g(1)=0$, donc $g$ se factorise sur $\mathbb Z /6 \mathbb Z$ en un morphisme d'anneaux, notons le $h$. On vérifie que $h=f$.
  • Math Coss
    Math Coss
    On doit pouvoir se dispenser de la notion d'anneau libre pour justifier l'existence d'un unique morphisme de $\Z$ vers un anneau quelconque...
  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    @Math Coss, oui j'ai failli enlever que "Z est l'anneau libre de base l'ensemble vide" en effet c'est équivalent à la phrase qui suit, et après réflexion, c'est en prouvant la phrase qui suit que l'on prouve que l'ensemble vide est une base de Z.

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