Surjection et corps fini

courage
Modifié (August 2022) dans Algèbre
$\newcommand{\F}{\mathbb{F}}$Bonsoir, j'ai besoin de votre aide si vous voulez.
Soient $p$ un nombre premier, $n$ un entier naturel et $\F_{q}$ le corps fini à $q=p^n$ éléments.
Je cherche des exemples d'applications  $f : \F_{q}\to B$, où $f$ est surjective et tous les éléments de $B$ sont périodiques (un élément $x$ de $B$ est dit périodique s'il existe deux entiers  $n$ et $m$ distincts  tels que $x^n=x^m$).
Merci pour vos retours.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    Modifié (August 2022)
    Bonjour,
    Quelle structure a $B$ pour que tu puisses y calculer des puissances ?
    Réponse idiote : $B$ un singleton. (Juste pour montrer que ta question ne fait pas grand sens si tu ne précises pas les choses).
    Autre réponse idiote : $f$ l'identité de $\mathbb F_q$.
  • courage
    Modifié (August 2022)
    $B$ un anneau ou un corps non trivial.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (August 2022)
    Alors je répète : $f$ l'identité de $\mathbb F_q$.
    Que demandes-tu à $f$ ? Juste une application ?
  • courage
    Modifié (August 2022)
    je cherche $f$ une application surjective à part l'identité. Je ne sais pas comment construire une telle application qui vérifie les conditions que j'ai citées.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (August 2022)
    Il suffit de "perturber" un peu l'identité.
    Tu choisis f qui à 0 associé 1 et à 1 associe 0 et à tout autre élément associe lui même.
    Si tu n'impose pas à f d'être un morphisme, ça me paraît un peu trivial.
  • @courage : d'où vient cette question qui est complètement farfelue ? Peut-être que le problème originel l'est moins ?
  • courage
    Modifié (August 2022)
    Il n'y a pas de problème originel, c'est juste une question que je me pose, trouver un homomorphisme surjectif entre deux anneaux périodiques, j'ai pris pour $A$ le corps fini qui est périodique et je me suis dit est-ce que je pourrai trouver une surjection de $A$ dans $B$...
  • Ah, maintenant tu parles d'homomorphisme ! Les seuls idéaux d'un corps sont $\{0\}$ et lui-même, donc les seuls quotients d'un corps sont l'anneau nul et lui-même.
  • courage
    Modifié (August 2022)
    J'ai dit "une application", c'est un homomorphisme d'anneaux au cas des anneaux commutatifs et c'est un morphisme de corps au cas des corps commutatifs. Où est-ce que je me suis trompé ?
    Pourquoi tu parles des quotients? les seuls morphismes de corps qui sont surjectifs sont les identités ?
  • Tu es trop imprécis dans tes questions : une application, ce n'est pas la même chose qu'un homomorphisme d'anneaux !!
    Un morphisme surjectif d'anneaux, c'est un quotient.
    Et un morphisme d'un corps dans un anneau non trivial est toujours injectif.
    Tu sembles ignorer pas mal de choses de base. Je t'ai déjà écrit que tu devrais commencer par les apprendre.
  • courage
    Modifié (August 2022)
    GaBuZoMeu D'où est ce que je peux apprendre les outils de base s'il vous plait ?
  • Dans un manuel d'algèbre de L3.
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