Intégrale de b à b

RaniaTira · August 2022

Salut tout le monde.
Soient $f$ une fonction réelle et $b$ un nombre réel.
Quelle est la (les) condition(s) pour que
$\int_b^bf(x)dx$ soit définie?

ev · August 2022

Que $f$ soit Lebesgue-mesurable sur $\{b \}$, ce qui n'est pas très exigeant !

e.v.

RaniaTira · August 2022

@ev
Merci pour votre réponse.
Si $f$ est définie et continue sur $I\backslash\{b\} $ où $I$ est un intervalle de $\mathbb R$, est-ce que l'intégrale sera définie ?

Dom · August 2022

Un exemple : $\displaystyle \int_0^0 \dfrac{1}{x} d x$

Fin de partie · August 2022

$0<b<1,\displaystyle \int_0^b \dfrac{1}{1-x}dx$ l'intégrande est définie et continue sur $[0,1[$ mais cette intégrale ne converge pas si on prend $b=1$.

Cependant, si $\displaystyle b\neq 1,\int_b^b \frac{1}{1-x}dx=-\left[\ln(1-x)\right]_b^b=0$ et donc $\displaystyle \lim_{b\rightarrow 1} \int_b^b \frac{1}{1-x}dx=0$

Ce que j'ai fait pour cette intégrande fonctionne pour toutes les fonctions $f$ continues sur un intervalle $[a,b[$ et doit donner le même résultat c'est-à-dire $\displaystyle \int_b^b f(x)dx=0$

bd2017 · August 2022

$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x}} dx+\int_1^0 \dfrac{1}{\sqrt{x}} dx=\int_0^0 \dfrac{1}{\sqrt{x}} dx $, d'après la relation de Chasles.

Or $\ \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x}} dx=2\quad$ et $\quad\displaystyle \int_1^0 \dfrac{1}{\sqrt{x}} dx=-2$

Donc on a intérêt de dire que $\quad\displaystyle \int_0^0 \dfrac{1}{\sqrt{x}} dx $ est bien définie et qu'elle vaut $0$

Dom · August 2022

J’en oublie les définitions…
Pour Riemann, ça n’existe pas.

C’est éventuellement une intégrale généralisée et ça m’apparaît une intégrale divergente.

Pour Lebesgue, je ne sais plus.

Fin de partie · August 2022

$\displaystyle b\neq 0,\int_b^b \dfrac{1}{\sqrt{x}}dx=\big[2\sqrt{x}\big]_b^b=\sqrt{b}-\sqrt{b}=0$

Donc $\displaystyle \lim_{b\rightarrow 0} \int_b^b \dfrac{1}{\sqrt{x}}dx=0$ et donc $\displaystyle \int_0^0 \dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$ existe et vaut $0$.

Dom · August 2022

Dis-moi, Fin de partie, pour cette limite, je suis d’accord mais il ne me semble pas que ce soit la définition pour une intégrale généralisée (si c’est bien de cela dont tu parles). C’est plutôt « on fixe une borne qu’on fait tendre, et l’autre étant à $0$ ». Ou bien, quand les deux bornes sont des limites, on passe par un point « $c$ ».

J’espère être clair, ce soir…

remarque : inutile la première ligne, car on sait que si la fonction est définie et intégrable au voisinage d’un point $a$, alors l’intégrale entre $a$ et $a$ est nulle. Pas besoin de primitive, etc.

édit : par exemple on a des surprises s’il on procède avec $\int_{\varepsilon}^{2\varepsilon}$ pour une fonction moins sympathique (je prends encore la fonction inverse, pour commencer).

Fin de partie · August 2022

@Dom: Tu as raison donc j'avais tort on ne peut pas toujours parler de $\displaystyle \int_b^b f(x)dx$ si $f$ est continue sur $[a,b[$.
Cela dit $\displaystyle x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$ est intégrable en $0$.

PS.
Je me fais subvertir à l'insu de mon plein-gré par Jean Lismonde.

math2 · August 2022

Moi je comprends la question dans le sens d'ev.

Alors, si je prends une fonction $f:\{b\} \to \overline{\R}$ (donc qui peut prendre une valeur infinie), elle est clairement mesurable, puisque les images réciproques de boréliens ne peuvent être que $\emptyset$ ou $\{b\}$. L'intégrale aura alors un sens si et seulement si $|f|$ est intégrable, c'est-à-dire si son intégrale est finie. Or par définition même de l'intégrale (que l'on prenne avec les fonctions étagées ou la formule avec le sup sur les PMF), lorsqu'on intègre une fonction (positive, et donc toute fonction) mesurable sur un ensemble de mesure nulle (ce qui est le cas ici), son intégrale existe et vaut $0$.

Par conséquent, dans ce cadre de Lebesgue, cette intégrale existe toujours (pourvu que l'on ait pu attribuer une valeur, même infinie, à $f(b)$) et vaut $0$.

Intégrale de b à b

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