Groupes diédraux

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Réponses

  • Julia Paule
    Modifié (August 2022)
    troisqua, oui je sais, mais O'Shine n'a peut-être pas cette propriété dans son cours ; du coup, je trouve préférable d'utiliser la définition d'une isométrie affine : application qui conserve les longueurs.
    C'est toujours pareil : on ne sait pas ce qu'il sait, et on ne sait pas d'où l'exercice est tiré.
    Bref, s'il bute sur ma dernière explication, je jette l'éponge.
  • Ok, je comprends ta démarche.
    J'aurais tendance à préconiser, avant de travailler sur les isométries d'un espace affine, de s'intéresser aux applications qui préservent l'affinité. Tout comme on ne parle pas du groupe orthogonal d'un espace euclidien si on ne sait pas ce qu'est une application linéaire. Mais bon, il s'en fiche, ça lui a déjà été conseillé d'ailleurs, mais il n'en a rien à cirer des "conseils".
  • Lol_a
    Modifié (August 2022)
    @NicoLeProf
    C'est à relier également avec les racines n-ième de l'unité.
    "Je me demande si $(Is^+(P_n),∘)$ est isomorphe à $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ ? Après tout, ils ont n éléments chacun." : Attention, c'est une condition nécessaire mais pas suffisante. Par exemple, $\mathcal D_3$ (ou $\mathfrak S_4$) et $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+)$ ont 6 éléments chacun mais ne sont pas isomorphe. En effet, dans $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+)$ 1 est d'ordre 6 et dans $\mathcal D_3$ il n'existe pas d'élément d'ordre 6.
    Autre exemple : $ (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+),+)$ et $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+)$ ont chacun 4 éléments et ne sont pas isomorphes.
  • @JLapin  a été expéditif à ce sujet : ils sont tous les deux cycliques de même ordre donc isomorphes.
  • JLT
    JLT
    Modifié (August 2022)
    troisqua a dit :
    @JlT : je repensais à ton énoncé. $\mathfrak S_4$ peut être vu comme le sous-groupe des isométries directes laissant globalement invariant le cube (raisonner sur les 4 grandes diagonales). Si je considère le plan $P$ médiateur de deux faces opposées et la réflexion $\tau$ associée, ainsi qu'une rotation $\sigma$ d'un quart de tour autour de l'axe passant par les centres de ces faces, alors ces deux transformations engendrent $\mathcal D_4$ (qui est l'un des 3 parmi les 2 Sylow de $\mathfrak S_4$). Les trois 2-Sylow de $\mathfrak S_4$ peuvent donc se voir en choisissant l'une des trois paires de faces opposées.

    Erreur classique. La réflexion $\tau$ n'est pas une isométrie directe, donc n'est pas dans le sous-groupe des isométries directes laissant globalement invariant le cube.

    Exercice :
    1) Déterminer géométriquement un sous-groupe $H$ du groupe des isométries directes du cube isomorphe à $\mathcal D_4$.
    2) Montrer que tous les sous-groupes de $SO(3)$ qui sont isomorphes à $\mathcal D_4$ sont conjugués à $H$.
  • NicoLeProf
    Modifié (August 2022)
    @troisqua Encore mille mercis pour ta preuve !!! Grâce à toi et à tes précieux conseils, je pense avoir compris comment démontrer le cas général à savoir que tout groupe cyclique de cardinal $n$ est isomorphe à $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ : j'ai eu une révélation hier en allant dormir !!!
    Je pense qu'on peut faire exactement pareil pour démontrer cela : en envoyant $1$ qui est évidemment générateur de $(\mathbb{Z},+)$ sur le générateur du groupe cyclique considéré !!! Puis on utilise le premier théorème d'isomorphisme !!!
    Merci beaucoup !!!
    @L@Lol_a. Oui merci, je me disais bien que c'était loin d'être suffisant, je me posais juste la question. C'est parce qu'ils sont tous les 2 cycliques et à $n$ éléments en fait. Et en effet, j'ai fait le lien avec les racines $n-$ièmes de l'unité !!!
    Que c'est plaisant quand des liens commencent à se faire naturellement et qu'on comprend ce dont on parle !!! 
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Ah oui JLT ! il faut composer avec une réflexion passant par les milieux de deux côtés opposés des faces qu'on fait tourner pour s'en sortir j'imagine ?
  • NicoleLeProf, on envoie 1 sur un (il peut y en avoir plusieurs) générateur du groupe cyclique !
  • JLT
    JLT
    Modifié (August 2022)
    Je ne suis pas sûr de bien comprendre ce que tu veux dire, mais j'ai l'impression que ce n'est pas ça. En tout cas le générateur d'ordre $2$ est très simple à décrire géométriquement.
  • Il n'y a donc pas d'isomorphisme canonique entre deux groupes cycliques de même ordre.
  • Pardon j'ai corrigé une faute de frappe. Le générateur d'ordre $4$ est bien celui que tu as décrit, c'est le générateur d'ordre $2$ qui est très facile à expliciter.
  • @OShine
    Je savais qu'un cours de L1 serait trop compliqué pour toi. C'était assez évident.
    Je t'invite très sincèrement à te procurer des livres de cours de lycée des années 1990 ou 2000. Ou plus anciens, ce serait encore mieux.
    Les programmes ont été détricotés petit à petit, et deviennent relativement incohérents.
    Si tu peux trouver la collection complète collège + lycée de 1985 par exemple, tu auras un ensemble cohérent, et tu pourras enfin apprendre des choses.
    Bien sûr, il faut lire les cours du collège AVANT les cours du lycée. Il ne faut pas commencer par la fin comme tu fais systématiquement.

    Pour les cours de lycée, tu peux éventuellement regarder des cours de section S, mais au cas où, tu peux aussi regarder des cours des sections non scientifiques.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Je pense aussi que de nos jours on ne fait presque plus de géométrie, et les étudiants manquent souvent d'intuition géométrique. Du temps de la terminale C on travaillait plus sur les transformations géométriques du plan.
  • Fin de partie
    Modifié (August 2022)
    @Oshine: Dans un triangle équilatéral tu ne vois pas trois axes de symétries? Et tu ne vois pas qu' il y a des rotations de centre le centre de gravité de ce triangle qui laissent invariant globalement ce triangle équilatéral?
    Le fait de savoir qu'il y a au plus $6$ isométries cherchées permet d'être sûr qu'on n'en a pas oubliées.
    Le même argument pour le carré ne va pas fonctionner tel quel, car $4!=24$ mais il n'y a pas autant d'isométries qui laissent invariant un carré.
  • Thierry Poma
    Modifié (August 2022)
    @OShine : bonjour. Ce que déclare JP ici-même est fondamental, en vertu du fait que $f\circ{}g^{-1}$ est une isométrie du plan fixant les trois points $A$, $B$ et $C$ non alignés du plan. A justifier !! Cependant, il manque quelque-chose pour conclure convenablement.
    @Julia Paule : j'apprécie beaucoup tes interventions que je trouve particulièrement intéressantes et dépourvues de .critiques inutiles Je devrais prendre exemple sur ton attitude.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Pour trouver un cours de terminale sur les isométries, je viens de regarder dans les manuels que j'ai encore, dans le programme de 1998 on les a, mais il faut le livre d' "enseignement de spécialité". Ce n'était pas dans le livre d' "enseignement obligatoire"
  • troisqua
    Modifié (August 2022)
    @JLT : On prend deux arêtes symétriques par rapport au centre du cube et le retournement par rapport à l'axe joignant le milieu de ces arêtes: ça donne les transpositions sur l'ensemble constitué des 4 grandes diagonales et ça doit faire l'affaire non ?
  • Thierry Poma
    Modifié (August 2022)
    @OShine : pour compléter définitivement le point évoqué par JP, procédons comme suit :
    • Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés du plan. Soit $h$ une isométrie du plan fixant ces points. Montrons qu'il s'agit de l'identité du plan.
    • Soit $M$ un point arbitraire du plan et $h(M)$ son image par $h$. Supposons $M\ne{}h(M)$.
    • Que peut-on dire sur les longueurs $AM$ et $Ah(M)$ ? Pourquoi ? Même question pour $BM$ et $Bh(M)$, puis pour $CM$ et $Ch(M)$. C'est très simple.
    • Soit $\Delta$ la médiatrice du segment $[Mh(M)]$. Comment peut-on traduire ce qui précède d'une autre manière ?
    • Conclusion ?
    • Appliquer ce résultat à $f\circ{}g^{-1}$ ci-dessus et conclure.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • troisqua
    Modifié (August 2022)
    @Thierry Poma  : je comprends bien ta démo, j'ai enseigné cela quand j'étais prof en terminale au début des années 2000. Et c'est normal qu'on ait fait ça puisque les applications affines n'étaient pas au programme de terminale de l'époque. Là c'est différent, c'est totalement au programme de l'agrégation interne (et même du capes je crois ?).
    Dans ces conditions, je ne trouve donc pas très pertinent de présenter des preuves de ce type car elles font croire que ce que l'on démontre dépend du caractère isométrique alors que c'est juste lié au caractère affine que possède toute isométrie (mais pas que les isométries). De plus, elle interdit toute approche purement affine (i.e barycentrique) alors qu'en fait c'est la notion clé ! Bref, on cache derrière des arguments euclidiens des arguments beaucoup moins lourds qui sont purement affines et plus directs.
    Pourquoi ne pas plutôt démontrer dès le début qu'une isométrie est affine et démarrer le cours directement avec les bons outils à sortir aux bons moments ? Tout comme on n'étudie pas le groupe orthogonal si on ne sait pas ce qu'est une application linéaire.
  • JLT
    JLT
    Modifié (August 2022)
    troisqua a dit :
    @JLT : On prend deux arêtes symétriques par rapport au centre du cube et le retournement par rapport à l'axe joignant le milieu de ces arêtes: ça donne les transpositions sur l'ensemble constitué des 4 grandes diagonales et ça doit faire l'affaire non ?
    Oui c'est ça. De manière plus explicite, soit $ABCD$ une face et $A'B'C'D'$ les sommets opposés. Soit $\sigma$ la rotation permutant circulairement $(A,B,C,D)$ et $\tau$ le retournement par rapport à l'axe passant par les milieux de $[AC']$ et $[A'C]$, alors $\sigma$ et $\tau$ engendrent un groupe isomorphe à $\mathcal D_4$.
  • troisqua : bonjour. Je le sais bien, mais laissons OShine se convaincre que tel est le cas pour les isométries du plan, de manière très simple et sans douleur. L'on pourra examiner le cas général a posteriori.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • troisqua
    Modifié (August 2022)
    Ah ok je comprends alors !
    En fait je ne dis (plus) rien pour aider OShine sur le plan mathématique, mais pour les lecteurs du fil qui pourraient utiliser ce fil, par exemple, pour illustrer une leçon d'agrég interne (donc au moins pour une personne !). Son rapport aux autres, son rapport à l'apprentissage, son rapport aux maths et en fait son rapport à lui-même m'ont convaincu que c'est totalement peine perdue et que c'est contre-productif pour lui. Le seul conseil que je lui donne c'est d'aller parler de sa boulimie d'exos corrigés à un professionnel qui pourra l'aider à s'extirper de cette nasse psychologique. Je le dis d'autant plus facilement que j'ai déjà fait des démarches de ce type, ma fille aussi, beaucoup d'amis également pour des raisons professionnelles ou familiales ou amoureuses peu importe. La vie est difficile parfois et il faut savoir s'occuper de soi, c'est, à mon avis, un signe de bonne santé mentale de faire cette démarche.
    Je pense qu'il faut cesser d'entretenir son problème et donc de lui faire ses corrigés dans le but qu'il les comprenne. Ça n'empêche pas qu'on s'amuse de notre côté avec les maths qu'il poste. Maintenant je sais bien qu'on ne peut empêcher les intervenants de lui donner des cours de math inutiles sans jamais se lasser... C'est juste que je trouve que ce n'est vraiment pas une bonne attitude. Punaise je m'étais juré de ne plus tenir ce genre de propos ici, et c'est raté :( !
  • NicoLeProf
    Modifié (August 2022)
    @Julia Paule  Oui merci, je ne sais pas pourquoi j'ai parlé du générateur alors qu'il peut y en avoir plusieurs ! Erreur d'inattention, désolé !
    Je voulais parler d'envoyer $1$ sur "le générateur évident" comme la rotation $r$ de $Is^+(P_n)$ ou $e^{\tfrac{2i \pi}{n}}$ pour le groupe des racines $n$-ièmes de l'unité. Mais bon, il n'y a pas toujours de "générateur évident"... 
    Donc merci beaucoup d'avoir rectifié ce que j'ai dit en effet !!! :D
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • yawp
    Modifié (August 2022)
    Pour le 1) on considère deux faces opposées du cube, l'axe passant par les centres des 2 faces opposées, le quart de tour d'axe précédent
    le groupe des isométries engendré par cet axe donne le groupe cyclique de $\mathcal D_4$, on considère de plus le retournement (renversement, ça change tout le temps et c'est une histoire de convention)  bref un demi-tour qui échange les 2 centres des 2 premières face évoquées, et qui fixe les centres d'une autre paire de faces opposées du cube.
    Une autre façon de le voir le sous-groupe d'une double pyramide à basse carrée qui conserve globalement la base carrée des 2 pyramides.
    Pour le 2) $SO_3$ est simple. ?
  • troisqua
    Modifié (August 2022)
    @yawp : Pour le 2, je propose : 
    Les sous-groupes de $SO_3$ s'identifient à des sous-groupes de $\mathfrak S_4$ (en associant à chaque grande diagonale du cube son image parmi les 4 grandes diagonales possibles). Or les sous-groupes de $\mathfrak S_4$ isomorphes à $\mathcal D_4$ sont d'ordre 8 donc sont des 2 Sylow de $\mathfrak S_4$ donc sont tous conjugués entre eux.
  • JLT
    JLT
    Modifié (August 2022)
    La question n'a aucun rapport avec la simplicité de $SO(3)$. Et d'autre part il y a des sous-groupes finis de $SO(3)$ de cardinal arbitrairement grand, donc ils ne s'identifient pas en général à des sous-groupes de $\mathfrak S_4$.
  • yawp
    Modifié (August 2022)
    j'ai réalisé à un moment qu'en travaillant sur un tétraèdre inscrit dans un cube qu'il y avait un groupe qui permutait les  paires d’arêtes opposées (non ordonnées) d'un tétraèdre régulier, et que ce groupe était un groupe d'isométrie directes.
  • troisqua
    Modifié (August 2022)
    @JLT : Oui, je me suis effectivement très mal exprimé mais ton sous-groupe tu l'as exigé isomorphe à $\mathcal D_4$ donc d'ordre 8 et s'identifie à un sous-groupe de $\mathfrak S_4$ non ?
  • Certes, il est (abstraitement) isomorphe à un sous-groupe du groupe des isométries directes du cube, mais rien ne permet d'en déduire immédiatement qu'il est conjugué à un sous-groupe du groupe des isométries directes du cube.
  • Ah,  je comprends le souci ! Je vais réfléchir un peu.
  • OShine
    Modifié (August 2022)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Je n'aime pas trop le cours qu'on m'a donné en lien. Je n'accroche pas à ce cours. Rien à voir avec le niveau.
  • OShine
    Modifié (August 2022)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Je ne comprends pas le rapport avec l'exercice de départ.
    $AM= h(A) h(M)=A h(M)$. 
    $BM=Bh(M)$.
    $CM=Ch(M)$.
    Pas compris la suite des questions.
  • Avant la réforme de 2016 les médiatrices étaient au programme de sixième, est-ce encore le cas ?
  • @OShine : j'en ai assez de travailler à ta place. Tu ne prends même pas la peine de lire les messages qui ont précédé celui que tu cites, y compris celui de JP. J'en ai vraiment assez de cette attitude toxique et puante. Je me demande comment tu peux être professeur de mathématique. C'est honteux.
    Si les autres veulent perdre leur temps, qu'ils continuent...
    N'es-tu pas capable de chercher et trouver un cours sur la géométrie affine sur le net et de t'y coller une bonne fois pour toutes. L'on a accès au net de nos jours, ce devrait être facile.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • troisqua
    Modifié (August 2022)
    Petit à petit, je pense qu'il va enfin être isolé car tout le monde aura compris la toxicité pour lui (et nous) qu'on continue l'assistance neurologique.
  • C'est de pire en pire je trouve pour O'Shine.
    En fait, pour réaliser l'exercice, on n'a besoin que de la définition d'une isométrie (application qui conserve les longueurs), et de connaître les isométries du plan vues au collège, qui sont d'ailleurs rappelées en début d'exercice.
    L'exercice tel qu'il est rédigé donne directement le nombre 6 de permutations des 3 sommets, et on trouve facilement les 6 isométries qui ont le bon goût de fonctionner.
    Merci TP pour ton commentaire.
    J'en resterai là sur le fil.
  • lourrran
    Modifié (August 2022)
    Je n'aime pas trop le cours qu'on m'a donné en lien. Je n'accroche pas à ce cours. Rien à voir avec le niveau. 
    En plus des problèmes de niveau, il y a les difficultés à s'adapter à un cours qui n'a pas été fait sur mesure pour toi.
    C'est effectivement un problème de plus.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine
    Modifié (August 2022)
    Je n'ai rien compris à l'exercice. Trop difficile pour moi comme le dit noobey mieux vaut abandonner quand on n'arrive à rien au bout de 2 jours.
    @Thierry Poma je ne comprends pas le rapport entre tes questions et l'exercice.
    Si j'ai lu tous les messages précédents. 
    Je sais ce qu'est une médiatrice et ses propriétés je n'ai juste pas compris la question.
    Vous me parlez chinois depuis 4 pages, ça ressemble plus à de l'étalage de connaissances compliquées. De toute façon, avec autant de messages, je ne vois pas comment je peux comprendre quelque chose. 
    Je cherchais les éléments de $\mathcal D_3$ qui laissent invariant le centre de gravité et on me parle de $f^{1} \circ g$, de $3!$, de permutations je ne comprends pas le rapport.
  • Juste une petite remarque. O'Shine, tu as passé ton bac au plus tard à la fin des années 2000 donc avant la réforme du lycée de 2013 qui a supprimé l'histoire en Terminale, supprimé ou presque la géométrie au lycée, donc les isométries étaient encore au programme de la TS spé maths, spécialité que tu as dû choisir (normalement), non ?
  • @Julia Paule  et troisqua : bonjour. Je suis désolé pour cet attitude, mais il y a un contexte. Aujourd'hui, j'avais prévu de continuer mon étude des catégories et de faire de la recherche d'emploi, avant la fin août. A la place, je suis descendu à la cave, en compagnie de souris (je n'en ai pas peur) afin de trouver un livre de mon époque qui analyse en profondeur les espaces affines et les applications affines. J'ai trouvé un Durrande de 1971 du programme de CDE. Tout est bien expliqué. Je voulais faire des photos de quelques pages pour les déposer ici. Mais ce n'est pas la peine, vu que ces pages seront rejetées par OShine. Je retourne à mes catégories... Je suis fatigué de l'entendre (sic) systématiquement gémir qu'il ne comprend rien, y compris pour un exercice très facile. Il ne faut pas pousser.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • JLapin
    Modifié (August 2022)
    Julia Paule a dit :les isométries étaient encore au programme de la TS spé maths, spécialité que tu as dû choisir (normalement), non ?
      Il n'a rien retenu de ses cours. Son seul fondement (très fragile) c'est le programme de MPSI de la réforme de 2013 qui ne met pas vraiment l'accent sur les transformations du plan, loin s'en faut.
  • Il arrive un moment où il faut savoir se prendre en main. Pour ma part, j'abandonne. D'ailleurs O'Shine ne comprend aucun de mes messages.
  •  Il n'a rien retenu de ses cours. 
    C'est effectivement assez troublant. Généralement, quand on aime, on retient assez bien.
    Il y a évidemment un problème du type : 'Notions mal comprises donc mal retenues'.
    Mais je pense qu'il y a aussi un gros problème de mémoire.
    Il aurait intérêt à faire des exercices pour améliorer sa mémoire, s'il veut un jour retenir 3 ou 4 trucs nouveaux en maths.

    Là encore, il y a des évaluations possibles pour voir si ce problème de mémoire est réel ou pas. Des évaluations plus ou moins sérieuses, mais un médecin peut être de bon conseil.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Il ne retient pas parce qu'il n'aime pas, il n'a pas d’appétence pour l'activité mathématique et c'est pour ça qu'il se fiche complètement de nos conseils. Comme il le dit, il n'a pas le temps de chercher (donc de faire des maths) de faire ce qu'on lui dit, il veut juste réaliser un objectif professionnel pour satisfaire quelque chose. Nous ne servons ici qu'à cela pour lui. Il n'y a aucune math dans tout cela. C'est sur cela qu'un professionnel serait certainement de bon conseil afin de l'aider à sortir de cet enfermement.
    Bon par dessus le chapeau, le monsieur est une véritable tête à claque qui m'est totalement antipathique (et que je trouve tout aussi antipathique avec les autres d'ailleurs).
    Bref, live and let die ! disaient-ils.
  • Barry
    Modifié (August 2022)
    [Inutile de recopier le message initial. Un lien suffit. AD]
    Bonjour,
    C'est vrai qu'en tant qu'observateur extérieur, je trouve tout cela malsain et j'espère que ça finira par cesser, mais beaucoup de choses de cette discussion restent intéressantes, comme cette démonstration guidée, la discussion entre @troisqua et @NicoLeProf ou les messages de @Julia Paule. Merci à vous, c'est très instructif !
  • OShine
    Modifié (August 2022)
    Je ne trouve aucun cours qui explique qu'une isométrie est déterminée par $3$ points non alignés.
    J'ai trouvé un résultat qui ressemble mais ce n'est pas la même chose, dans un cours qui a l'air propre. J'aime bien ce cours même si ça manque cruellement de figure.
    https://perso.univ-rennes1.fr/eric.jourdain/GEEU/Cours/Isom.pdf
  • troisqua
    Modifié (August 2022)
    La proposition 4.2 dès la première page de ton document affirme "isométrique implique affine" (ouf !!!! c'est la clé de tout, c'est pour ça qu'il le fait au début). Reste à savoir ce que sont les applications affines comme je le dis depuis, pffffiou, 4 pages maintenant..... Mais bon ce ne sont pas des conseils mathématiques dont tu as urgemment besoin, et tu le sais parfaitement ;) Maintenant si tu veux des conseils mathématiques, je crois que ton "foutage de gueule" en a refroidi plus d'un, tu es en train de tuer la poule aux œufs d'or.
  • zeitnot
    Modifié (August 2022)
    Je profite pour glisser que l'auteur du document était reconnu comme le meilleur prof de TD à l'époque où j'étais étudiant à Rennes. Il fallait venir de bonheur et de bonne heure pour avoir une place !
    Edit : :D C'est dire, si j'ai de bons souvenirs !
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Quel belle expression "venir de bonheur" ! J'adore :)
  • JLT
    JLT
    Modifié (August 2022)
    zeitnot a dit :
    Il fallait venir de bonheur pour avoir une place !
    On te sent heureux d'avoir suivi ce cours.
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