Ensembles isométriques oral X
Réponses
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Dans ma démonstration, ce que j'affirme sur le diamètre (défini comme une borne supérieure) est exact. Cependant on peut complètement se passer de la notion de borne supérieure. En restant dans le cadre du programme de collège/lycée, on peut montrer que1) Il n'existe pas de points $x,y\in B$ tels que $||x-y||=2$.2) Il existe deux points $x,y\in A$ tels que $||x-y||=2$.On obtient alors une contradiction.Cela dit, si tu ne connais pas d'autres isométries que "les symétries axiales par rapport aux axes des abscisses et ordonnées", c'est inquiétant pour un prof qui doit enseigner la géométrie au collège. Plutôt que de faire semblant de résoudre des exercices de l'X, il serait préférable de travailler sur les transformations géométriques. Il y a sûrement des chapitres dessus bien faits dans des anciens manuels de lycée.
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En cherchant moins de 3 minutes sur internet, on trouve par exemple ça, pour ceux qui préparent le CAPES : https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/CAPES/geometrie/isometries11-12.pdf
C'est ce qu'un lycéen est censé savoir, et ce qu'un postulant au CAPES est censé savoir enseigner.
Bien entendu, OShine n'est pas concerné. Le programme du lycée, il le lira un jour, peut-être.
Mais comme il oublie plus vite qu'il n'apprend, ça ne lui servira à rien.
Par ailleurs, tu traites un exercice 'compliqué' sur les isométries. Tu ne sais pas aligner le premier mot du début d'une réponse.
Et tu nous dis au final ... 'Les isométries, je n'ai pas compris le cours'.
Tu n'as même pas l'idée de relire le cours à fond avant de faire cet exercice. Tu sais que cet exercice traite d'un sujet que tu n'as pas compris, et tu n'essaies même pas de te remettre à niveau ?
Tu cherches vraiment à passer pour un imbécile, c'est en fait ça ton objectif ?
Je ne sais pas si c'est ton objectif, mais en tout cas, objectif atteint.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Peut-être qu'un point de vue plus concret (moins formel) que le poly de Perrin serait préférable pour OShine. Voici un extrait de "Mathématiques d'excellence - cours pour lycéens très motivés" (je ne sais pas de quel tome cette page provient).
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@OShine : bonjour. Je commence à être fatigué de cet exo. Pourquoi devrais-je utiliser le concept de borne supérieure ? En plus, tu conclus trop rapidement. Tout ce que je peux dire, c'est que les points $M$ et $N$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $1$. Il faut travailler un peu plus. En effet, ces points ont nécessairement les affixes respectives $e^{i\alpha}$ et $e^{i\beta}$ pour certains réels $\alpha$ et $\beta$, telles que $\left|e^{i\alpha}-e^{i\beta}\right|=2$, de sorte que\[4=\left|e^{i\alpha}-e^{i\beta}\right|^2=\left(e^{i\alpha}-e^{i\beta}\right)\,\left(\overline{e^{i\alpha}-e^{i\beta}}\right)=\cdots\]
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
@OShine : remarquons que je n'ai utilisé que l'outillage que l'on enseignait en Terminale S. Je ne sais pas ce qu'il en est aujourd'hui.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
JLT,
J'ai choisi un cours pour candidats au CAPES, parce que je pense que OShine peut éventuellement accepter de lire ce genre de cours.
Mais effectivement, un cours pour lycéen très motivé conviendrait beaucoup mieux.
Et comme dit Thierry, un cours de lycée d'il y a quelques années permet déjà d'en faire beaucoup plus que ce que OShine a proposé.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Le diamètre d'un ensemble est une borne supérieure.
Ce cours de Daniel Perrin est bien même s'il manque cruellement de dessins et que toute la partie "affine" ne sert pas dans l'exercice.
Je n'ai pas l'impression que connaître le cours sur les isométries permet de résoudre l'exercice.
Après avoir passé 1 heure a lire le cours de Daniel Perrin je ne suis pas plus avancé sur l'exercice.
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Tu veux redemontrer le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire ?Thierry Poma a dit :@OShine : remarquons que je n'ai utilisé que l'outillage que l'on enseignait en Terminale S. Je ne sais pas ce qu'il en est aujourd'hui. -
Suit au messages de @JLT, je pensais proposer la solution ci-dessous mais je ne sais pas trop comment montrer que A (ou B ) contient nécessairement un diamètre du cercle
Soient M et N deux points d'affixes respectives x et y tels que ||x -y|| = 2 On montre qu'alors [MN] est un diamètre du cercle de centre O et de rayon 1, c'est-à-dire que O est le milieu de [MN].
Soit f une isométrie telles que les points O', M' et N', images des points O, M et N par f, appartienne au cercle O et de rayon 1.
Comme f conserve les distances et donc ici l'alignement (norme euclidienne), [M'N'] doit être un diamètre du cercle de centre O' et de rayon 1. Or cela n'est possible que si O = O'. Ainsi, nécessairement O appartient à la fois au domaine de définition de f et à son image, donc, pour reprendre l'énoncé, à $A \cap B$, d'où une contradiction. -
Et d'où sortent ces deux résultats ? Comment on les trouve ?JLT a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2374368/#Comment_2374368[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Sinon @Thierry Poma tu n'aurais pas un corrigé de l'exercice que tu as posté avec les questions intermédiaires ? Je n'arrive pas à montrer la première question.
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Le point 1 a été montré dans le message de Lol_a ci-dessus mais bon on va tout récapituler car on ne va pas s'éterniser sur les détails de l'exercice. Les détails manquants sont de niveau collège. On suppose par exemple $O\in A$. Soit $O'=f(O)$. Soit $[RS]$ le diamètre de $C(O,1)$ perpendiculaire à $(OO')$.
On a $A\subset D(O,1)$ donc $B=f(A)\subset f(D(O,1))=D(O',1)$, d'où $B\subset D(O,1)\cap D(O',1)$.Supposons qu'il existe $M,N\in B$ tels que $MN=2$. Alors $2=MN\leqslant MO+ON\leqslant 1+1=2$ donc $MO=ON=1$. D'après le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire, $O\in [MN]$, et comme $MO=ON$, $O$ est le milieu de $[MN]$. De même $O'$ est le milieu de $[MN]$ donc $O=O'$, d'où $O\in A\cap B$ ce qui est impossible.Or, $O'R>1$ et $O'S>1$ donc $R$ et $S$ n'appartiennent pas à $D(O',1)$ et a fortiori n'appartiennent pas à $B$, par conséquent ils sont dans $A$. On a $f(R)\in B$, $f(S)\in B$ mais $||f(R)-f(S)||=||R-S||=2$. Contradiction.Si tu veux être capable de faire ce type d'exercice de géométrie de niveau collège/lycée, il faut t'entraîner sur des exercices géométrie de collège/lycée, par exemple dans "mathématiques d'excellence" que j'ai mentionné précédemment. -
@OShine : puisque $\tau$ est une isométrie, l'on a $\tau(M)\tau(N)=MN$ pour tous points $M$ et $N$ du plan $\mathcal{P}$, de sorte que trivialement $\tau^{-1}(M)\tau^{-1}(N)=\tau(\tau^{-1}(M))\tau(\tau^{-1}(N))=MN$, d'où le résultat attendu.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Je n'ai pas l'impression que connaître le cours sur les isométries permet de résoudre l'exercice.
Tout à fait.
Condition nécessaire pour faire l'exercice : connaître le cours sur les isométries.
Cette condition est nécessaire, mais n'est pas suffisante.
En plus, il faut être 'matheux'.
Toi, tu ne coches aucune des 2 cases. Tu ne connais pas le cours, et tu n'es pas 'matheux'.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
@Thierry Poma merci !
@JLT
C'est plutôt du niveau concours général ou olympiades.
Merci je n'avais pas vu qu'on pouvait en déduire de l'inégalité triangulaire que $MO=ON=1$.
Mais je viens de comprendre comme $OM \leq 1$ et idem pour $ON$ c'est la seule possibilité.
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L'exercice brut sans indications serait du niveau "olympiades junior" (pour élèves de 15 ans ou moins). Mais j'ai donné une première solution au début du fil, combler les 2-3 trous qui manquaient était du niveau d'un bon lycéen, très en-dessous du niveau CG ou olympiades.Pour le passage sur $MO=ON=1$ j'ai corrigé une faute de frappe (changé un $=$ en $\leqslant$). C'est de l'algèbre ordinaire de niveau collège.
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Pour rendre le problème initial un poil plus intéressant on peut le généraliser :
Soit $(E,\|.\|)$ un espace normé. Existe-t-il une partition de la boule unité fermée en deux parties isométriques ?
Je crois avoir une preuve que non dans le cas où $(E,\|.\|)$ est strictement convexe... -
Oui mais il faut faire un beau dessin.
J'étais obnubilé par le diamètre et le passage avec la borne supérieure.
C'est plus difficile avec la borne supérieure ?
Un candidat de l'X qui présente cette preuve niveau collège aurait eu tous les points ? -
@OShine : le problème, c'est que tu n'as pas été au bout en utilisant la compacité du disque unité fermé et la continuité d'une certaine fonction que je te laisse le soin de donner. Nous sommes en dimension finie, les choses vont bien.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Mais de quelle borne sup parles-tu ??Et qu'est-ce que tu entends par "avoir tous les points" ?
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@raoul.S : dans ta preuve, tu n'as pas recours à la compacité de la boule unité fermée (donc nécessairement $E$ de dimension finie) ?@JLapin : je crois qu'il fait référence à la définition du diamètre. À un moment on a besoin de dire que le diamètre est atteint par des extrémités et de considérer ces extrémités (d'où la remarque sur la compacité et donc la dimension finie évoquée par Thierry). Je n'ai pas trahi tes propos Thierry ?
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Le diamètre d'un ensemble est la borne supérieure des distances entre deux éléments de l'ensemble.
Dans sa première preuve JLT parle du diamètre de B. -
On peut effectivement montrer que $\mathrm{diam}(B)\leqslant \mathrm{diam}(D(O,1)\cap D(O',1))<2$ avec un argument de compacité. Mais on peut aussi le faire en restant au niveau lycée. D'après le premier théorème de la médiane, si on désigne par $\Omega$ le milieu de $[OO']$, alors pour tout $M\in D(O,1)\cap D(O',1)$ on a $\frac{1}{2}{OO'}^2+2M\Omega^2=MO^2+{MO'}^2\leqslant 2$ donc $M\Omega\leqslant\sqrt{1-\frac{{OO'}^2}{4}}$, donc $\mathrm{diam}(D(O,1)\cap D(O',1))\leqslant 2\sqrt{1-\frac{{OO'}^2}{4}}<2$.
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@troisqua non j'utilise juste le fait que l'espace est strictement convexe. C'est-à-dire si $\|x\|=1$ et $\|y\|=1$ et $x\neq y$ alors $\|x+y\|<2$ (les boules sont arrondies... pas de jeux de mots pleasetroisqua a dit :@raoul.S : dans ta preuve, tu n'as pas recours à la compacité de la boule unité fermée (donc nécessairement $E$ de dimension finie) ?
). Une condition équivalente bien pratique est la suivante : si $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ et $x\neq 0$ alors il existe $\lambda \geq 0$ tel que $y=\lambda x$.
Par contre je ne sais pas si le résultat est encore valide sans cette hypothèse et ayant rédigé ma preuve au brouillon elle risque d'être fausse... mais je suis optimiste. -
À quel moment de ta preuve fais-tu apparaître un $x$ et $y$ de norme 1 ? C'est leur existence sans hypothèse de compacité qui m'interroge. Quelque chose doit m'échapper certainement.
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Je ne passe pas par le diamètre (pas besoin de montrer que le diamètre est atteint via la compacité), je la posterais peut-être plus tard si personne n'en donne une meilleure, car je ne la trouve pas géniale...
Je fais un résumé quand même :
Si pas d'erreur on peut supposer que l'espace $E$ est complet. Si $f:A\to B$ est une isométrie surjective alors on peut prolonger $f$ en une isométrie surjective $\tilde{f}:\overline{A}\to \overline{B}$. On montre alors que $\overline{A}$ possède deux points antipodaux et de même $\overline{B}$. Ceci entraîne que $\tilde{f}(0)=f(0)=0$ si $0\in A$ (ou $\tilde{f^{-1}}(0)=0$ si $0\in B$) ce qui est absurde. -
Ce qui est bien avec le premier théorème de la médiane c'est qu'il se retrouve facilement avec le produit scalaire.
Mais je ne me souvenais pas de ce théorème.
@Thierry Poma
La fonction $\phi : B(0,1) \longrightarrow \R \\ (x,y) \mapsto ||x-y||$ est continue sur la boule fermée de centre O et de rayon 1 qui est un fermé borné.
En dimension finie les fermés bornés sont les compacts.
L'application est continue sur un compact donc elle est bornée et atteint ses bornes.
Ainsi le sup est atteint. -
Pour un espace vectoriel normé strictement convexe de dimension $\geqslant 2$ : on reprend la même démonstration. Supposons par exemple $O\in A$ et posons $O'=f(O)$. Soit $\Omega=(O+O')/2$. Pour tout $M\in B$ on a $MO\leqslant 1$ et $MO'\leqslant 1$ donc par stricte convexité, $M\Omega<1$ donc $B$ ne contient pas deux points $M$ et $N$ tels que $MN=2$.Choisissons maintenant un point $x$ n'appartenant pas à la droite $(OO')$. Par locale compacité, la distance de $x$ à $(OO')$ est atteinte en un point $y\in (OO')$. Ce point est unique par stricte convexité de la norme. Quitte à remplacer $x$ par $x-y$ on peut supposer $y=0$, et quitte à remplacer $x$ par $\frac{x}{||x||}$ on peut supposer $||x||=1$. On a alors $||x-O'||>1$ donc $x\notin B$, par conséquent $x\in A$. De même, $-x\in A$. Contradiction.
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Olala JLT, toujours aussi expéditif...
Bon de mon côté je me suis rendu compte que ma preuve était foireuse (déjà que je la trouvais moche ). En fait c'est le passage par le complété qui me semblait suspect, et effectivement j'avais implicitement supposé que le complété d'un espace strictement convexe est lui aussi strictement convexe. Et je me rends compte que je ne sais pas si c'est vrai.
Si quelqu'un connait la réponse à cette question merci de me l'indiquer : est-ce que le complété d'un espace strictement convexe est lui aussi strictement convexe ? -
Je n'ai pas vérifié tous les détails mais il me semble que non. Soit $E$ un espace de Banach strictement convexe de dimension infinie, et soit $F=\R^2$ muni de la norme $||\cdot||_\infty$. On munit $E\times F$ de la norme $(x,y)=\sqrt{||x||^2+||y||^2}$. Soit $f$ une forme linéaire non continue sur $E$, et soit $\varphi : E\times F\to \R$ la forme linéaire $\varphi(x,y)=f(x)+y_1$. Soit $H=\ker\varphi$. Alors $H$ est un hyperplan dense dans $E\times F$ donc le complété de $H$ est $E\times F$. De plus1) $E\times F$ n'est pas strictement convexe puisqu'il contient $\{0\}\times F$ qui ne l'est pas.2) $H$ est strictement convexe (utiliser le fait que $H$ ne contient pas $ \{0\} \times F$).
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Ok merci JLT. Mais il me semble que le point 2) fait défaut.
En effet soit $x\in E\setminus H$ tel que $\|x\|^2+f(x)^2=1$ et $\lambda\in \R$ tel que $|\lambda|<|f(x)|$ alors $u:=(x,(-f(x), 0))$ et $v:=(x,(-f(x), \lambda))$ vérifient : $u,v\in H$, $\|u\|=\|v\|=1$ et $\|u+v\|=2$.
Je vais peut-être chercher encore. -
J'ai perdu le fil... Merci OShine ! C'est de bonne guerre certes, mais il y a des limites !
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Merci, je vais regarder demain.
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Au bout de 134 messages, le mot rotation n'apparaît toujours pas.
Voici un exercice un peu plus simple.
Dans $\mathbb{R}^2$ muni de la norme euclidienne classique, on définit $D^{\star} = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2\mid 0<||(x,y)||\le 1 \} $
Question 1.
Quelles sont toutes les isométries $f$ telles que $f(D^{\star})=D^{\star}$
Question 2.
Quelles sont toutes les isométries $f$, et tous les ensembles $A$ tels que :
$A \subset D^{\star}$
$f(A) \subset D^{\star} $
$A \cap f(A)= \emptyset$
$A \cup f(A)= D^{\star} $
Question 3.
Même question que la question 2, mais sur l'ensemble $D= \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2\mid 0 \le ||(x,y)||\le 1 \} $
La question 3 est la même que celle de l'exercice proposé, mais les questions intermédiaires aident l'étudiant l'élève à avancer.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
@lourrran : je pense qu'en fait c'est parce que rapidement s'est posée la question de généraliser la question et de voir que le côté euclidien n'est utile que pour rendre les boules strictement convexes. Du coup la structure de $O_2$ ne sert pas et donc parler de rotation ici n'était pas nécessaire pour résoudre le problème.
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Un exercice de maths, c'est un combat entre un exercice et un élève. Si l'élève domine l'exercice, s'il prend le dessus, alors, ok, il n'a pas besoin de parler de telle ou telle notion.Si c'est l'exercice qui domine l'élève, et c'est le cas à chaque fois que l'élève demande de l'aide, alors l'élève doit savoir sortir les armes 'basiques' dont il dispose. Il doit sortir les connaissances de cours qu'il a acquises (théoriquement) depuis un certain temps.Je pense que les solutions proposées sont adaptées pour des gens qui dominent ce genre d'exercice, donc des gens qui n'ont pas besoin d'aide.On parle d'isométrie, c'est quoi une isométrie ?
isométrie = rotation ou symétrie, ou d'autres types d'isométrie qu'on peut exclure d'emblée.
Symétrie, il y a plein de points tels que f(M)=M, ça s'engage mal.Rotation, il y a un point tel que f(M)=M, ça s'engage un peu mieux.Quand l'élève a écrit ça sur sa copie, il n'a pas totalement résolu l'exercice, mais il a déjà un peu avancé.Un élève qui poste l'énoncé de l'exercice et qui n'est même pas capable de poster ces quelques lignes qui prouvent qu'il a un peu réfléchi, c'est quoi ? Un zombie ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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@OShine : Lourran te demande qu'elles sont les isométries qui fixent le disque unité épointé.
En général, en maths, on va du général vers le particulier. Donc tu peux commencer par te poser la question générale : quelles sont les isométries de $\R^2$ ? Ceci étant établi, tu peux après sélectionner celles qui fixent le disque épointé.
Tout le propos de lourran, à mon avis, est de te faire comprendre que tu ne connais même pas les isométries du plan.
Citer des isométries du plan, c'est facile, on apprend ça au collège : rotations, réflexions, translations. Démontrer qu'il n'y en a pas d'autres, c'est de la matière de L1 qu'on demande au CAPES me semble-t-il.
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@lourrran : oui j'ai compris ta démarche et c'est très bien si on souhaite "aider" OShine. Ce n'est plus mon cas du tout depuis longtemps donc je suis davantage intéressé par le contenu de certains problèmes posés et leur généralisation que l'effort pédagogique pour quelqu'un qui ne le mérite pas selon moi. Je comprends donc ceux qui se fichent qu'il comprenne leur solution et qui proposent de jolies choses ("jolies" au sens où elles présentent ce qu'il fallait simplement voir de sorte qu'elles se généralisent).
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C'est Titi le curieux qui le premier a remis l'église au centre du village : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2374316/#Comment_2374316S'est-on assuré que OShine connaît les différentes familles d'isométries ?Et en relisant en diagonale pour retrouver ce message, je retombe sur cette perle de OShine :Je n'ai pas l'impression que connaître le cours sur les isométries permet de résoudre l'exercice.Connaître le cours n'est pas suffisant, mais ça ne peut pas faire de mal !
@Troisqua
Je comprends parfaitement ton point de vue, et j'adhère totalement.
Il se trouve que moi, j'ai arrêté les maths il y a 40 ans. Et mes vagues souvenirs me permettent d'intervenir quand les questions sont de niveau collège ou lycée, mais pas vraiment quand ça dépasse trop ce niveau. Donc je suis ébloui par les solutions proposées, mais plus concerné par des solutions plus basiques.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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La question 1 de lourrran est simple mais les ensembles $A$ de la question 2 ne sont pas commodes à décrire : il faut subdiviser $D^*$ en une réunion d'orbites de $f$ et décrire ce qui se passe sur chaque orbite. Donc rien de très explicite (nécessité d'utiliser l'axiome du choix).
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Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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J'ai vu qu'on les appelait aussi les glissades. J'aurais certainement fait le même oubli que Cyrano si je n'avais pas relu un truc sur le sujet il y a 2 ou 3 jours.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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C'est précisément l'objet de la feuille de TD proposée, premier exercice.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Ça m'a l'air très dur.Thierry Poma a dit :
La question 2 m'a l'air infaisable. -
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Ils ont un sacré niveau les exercices de ton document on dirait du X-ENS.
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n'importe quoi ...
J'abandonne. Tu n'arriveras à rien avec cette attitude puante.
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