Lien entre germains et jumeaux

stfj
Modifié (March 2023) dans Arithmétique
Bonjour,
Je me suis un peu intéressé aux nombres de Sophie Germain (nombres premiers $p$ tels que $2p+1$ est aussi premier) et il y a un résultat que j'aimerais vous soumettre concernant des objets associés.
Soit $(p_1, p_2, p_3, ...)$ la suite des nombres premiers $(2, 3, 5, 7,11... )$ et soit $$p_n\#:=p1\times...\times p_n$$ la primorielle de $p_n$ pour $n \geq 1$. On obtient alors la suite des primorielles $(2,6,30,210,2310,30030,...)$.
Je note $U_n$ le groupe des unités de  $\Z/p_n\#$. $$U_n:=(Z/p_n\#)^\times$$
Appelons jumelle de $\Z/p_n\#$ un élément de $U_n$ telle que $u+2 \in U_n$. Notons $J_n$ l'ensemble des jumelles de  $\Z/p_n\#$.
Appelons germaine u de $\Z/p_n\#$ un élément de $U_n$ telle que $2u+1 \in U_n$. Notons $G_n$ l'ensemble des germaines de  $\Z/p_n\#$.
Théorème : Soit $u \in U_n$. Alors $u\in J_n \Leftrightarrow u^{-1} \in G_n$
Démonstration : $u \in J_n \Leftrightarrow u+2 \in U_n \Leftrightarrow u^{-1}(u+2) \in U_n \Leftrightarrow 1+2u^{-1} \in U_n \Leftrightarrow u^{-1} \in G_n$. qed.
Corollaire : il y a autant de germaines que de jumelles.
_________________________________
Voilà mes questions :
1) que pensez -vous de la validité de ce qui est avancé ? (Je vous propose d'examiner les cas $n=1$ et $n=2$)
2) j'aimerais savoir si ce résultat simple- si tant est qu'il soit correct- est connu. (j'ignore même si on a jugé bon de définir les notions de jumelles et de germaines)
Cordialement, 

Réponses

  • Math Coss
    Modifié (August 2022)
    Pour inverser la classe d'un entier $u$ dans $\Z/N\Z$, on utilise l'algorithme d'Euclide "complété" pour trouver des coefficients de Bézout $a$ et $b$ tels que $au+bN=1$.
  • @Math Coss : Voilà sans explication pour l'instant l'algorithme du collègue : inversons par exemple 8 dans $\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}$ : 
    17........8........1
             -2  
               a       1.....0
    L'inverse de 8 dans $\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}$ est $a=-2\times 1=-2$. Et c'est implémenté sur ordinateur.
  • C'est indéchiffrable. Pour un résultat qui se trouve de tête....
  • C'est l'algorithme d'Euclide étendu : on fait d'abord la division de $17$ par $8: 17=2\times8+1$. On indique alors le $2$ et le $1$ comme indiqué. La troisième ligne permet de traduire $1=17+(-2)\times 8$. Cherchons l'inverse de $23$ dans $\Z/1261\Z$:
    1261........23........19..........4..........3........1
    .................-54......-1..........-4.........-1
    ..................a.........-6............5........-1........1.......0
    Vous aurez compris les premières et deuxièmes lignes. Pour créer la troisième, voici comment on procède 
    1*(-1)+0=-1
    -1*(-4)+1=5
    5*(-1)+(-1)=-6
    a=(-6)*(-54)+5 sera alors fourni par l'algorithme comme l'inverse de $23$ dans $\Z/1261\Z$

  • Je songeais à une conséquence intéressante du théorème à montrer. Une fois connues toutes les jumelles de $\Z/p_n\#\Z$, on en déduit par inversion les germaines. Illustrons cela avec les jumelles de $\Z/30\Z$. $J_3=\{11,17,29\}$. On trouve alors $G_3=\{11,23,29\}$. D'où le corollaire : 
    Tous les nombres de Sophie Germain exceptés les premiers sont de la forme $11+30k, 23+30k, 29+30k$ avec $k \in \Z$. On peut le vérifier sur la liste des premiers Germains : $2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559$
  • stfj
    Modifié (August 2022)
    Il y a $Card(J_4)=(p_2-2)(p_3-2)(p_4-2)=(3-2).(5-2)(7-2)=15$ jumelles et donc $15$ germaines dans $\Z/210\Z$. Les jumelles sont bien connues : $J_4=\{11,17,29,41,59,...,209\}$. Je réalise que je n'ai jamais fait l'effort -ou que je n'ai pas eu l'occasion de le faire -de déterminer par inversion toutes les germaines de $\Z/210\Z$. Cela vous dit ? :) Après 15 calculs à la main, je trouve $G_4=\{191,173,29,41,89,71,131,53 ,23,179,83,149,11,113,209\}$, ce qui permet d'affiner le repérage des germains fournis dans le commentaire ci-dessus. A l'étape suivante, il y a $Card(J_5)=(11-2).Card(J_4)=135$ jumelles/germaines. On confiera donc le travail à une machine...
  • Malheureusement le théorème n’est pas vrai. Car dans $\left(\mathbb{Z}/210\mathbb{Z}\right)^{\times}$, $71\in J_{4}$ est son propre symétrique et n’est pas un nombre premier de Sophie Germain. En effet on a $71\times 71 =5041\equiv 1\hspace{3pt}(\text{mod}\hspace{3pt}210)$ et $2*71 +1=143=11\times 13$.

    Aussi $209=11\times 19$ n’appartient pas à $U_{4}$, par conséquent il n’appartient pas à $J_{4}$.
  • @JRManda :  merci pour ton intérêt et merci d'adopter les notations que j'ai introduites :) . En effet, dans $\left(\mathbb{Z}/210\mathbb{Z}\right)^{\times}$, $\bar{71}\in J_{4}$ puisque $\bar{71}+\bar{2}=\bar{73} \in U_4$. Jusque là, je suis d'accord avec ce que tu écris. Par ailleurs, tu as à nouveau raison, l'inverse de $\bar{71}$ est bien $\bar{71}$ lui-même pour la raison que tu invoques. Ensuite, tu constates que $2\times71+1=143=11\times13$. $143$ n'est pas un nombre premier. D'où tu déduis avec raison que $71$ n'est pas un nombre de Sophie Germain. Tu penses alors avoir construit un contre-exemple à ce que j'affirme. Et je trouve que ton initiative est remarquable. 
    Mais tu commets là dans l'empressement une erreur que l'on commet tous.
    $\left(\mathbb{Z}/210\mathbb{Z}\right)^{\times}$ est composé des classes de nombres dont un représentant est un entier relatif premier avec $210$, c'est-à-dire avec $2,3,5 \text{ et }7$ puisque $210=2\times3\times5\times7$. Il faut du temps pour se familiariser avec ces objets. $143=11\times13$ est bien premier avec $210$. De même, $209=11\times19$ est premier avec $210$.$\bar{143} \in U_4$ et $\bar{209} \in U_4$ bien que ni $143$ ni $209$ ne soient des nombres premiers. 
    Je me permets de rappeler que $\bar{209}=209+210\mathbb{Z}$. Par exemple, $209+210=419$ est un nombre premier.
    Merci encore, @JRManda pour ton intérêt. C'est par l'erreur que nous progressons tous, n'est-ce pas?
    Un petit cadeau, j'espère, $71+210=281$ et tu vérifieras que $281$ est bien un nombre de Sophie Germain.[il est dans la liste fournie plus haut] Justement, sa présence dans la liste vient du fait que $281 \in \bar{71}$.
    Très cordialement,
    Stéphane
  • JRManda
    Modifié (August 2022)
    @stfj. Je suis d'accord avec toi du moment où tu raisonnes ici sur les classes d'équivalence toutes entières alors que moi, je me suis limité aux éléments quotients. Toutefois, je pense que le théorème serait sans reproche si les éléments quotients le vérifiaient aussi.
    Cordialement
    Jean-Richard.
  • @JRManda, dans $\mathbb{Z}/210\mathbb{Z}$, la classe de $209$ est tout simplement l'élement $-\bar{1}$. Cet élément est très intéressant. C'est une classe de nombres qui contient une infinité de nombres premiers. J'en ai cité un, en l'occurrence $419$. Il serait dommage de négliger de telles classes de nombres, n'est-ce pas ? De même, $143$ étant premier avec $210$, la classe $143+210\mathbb{Z}$ contient, d'après le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet, une infinité de nombres premiers. A nouveau, négliger une telle classe de nombres ne me paraît pas pertinent. Par exemple, j'ai proposé l'exemple de $71+210$ qui EST un nombre de Sophie Germain bien que $71$ ne le soit pas puisque $143$ n'est pas premier. N'est-ce pas?
  • stfj
    Modifié (August 2022)
    Appelons jumelle d'ordre $m\geq 1$ de $\Z/p_n\#\Z$ un élément $u$ de $Un$ telle que $u+p_m\# \in U_n$. Notons $J_{n,m}$ l'ensemble des jumelles d'ordre $m$ de  $\Z/p_n\#\Z$.
    Remarque : pour $m=2$, on a des objets associés aux sexys(nombres premiers $p$ tels que $p+6$ soit aussi premier.
    Appelons germaine d'ordre $m\geq 1$ de $\Z/p_n\#\Z$ un élément $u$ de $Un$ telle que $p_m\#.u+1 \in U_n$. Notons $G_{n,m}$ l'ensemble des germaines d'ordre $m$ de  $\Z/p_n\#\Z$.
    Le théorème s'étend alors facilement .
    Exemple d'application : avec $n=4, m=2, u=11$ : $641=11+3\times210 \in \bar{11}$ et $6\times641+1=3847\in \mathbb{P}$ ainsi que $641$ d'ailleurs :autrement dit, $641$ est un nombre de Sophie Germain d'ordre $2$, la définition de cette notion allant de soi. A propos les Germains d'ordre $2$ ont-ils été définis en Arithmétique ? Je n'ai trouvé cette notion nulle part.
    Autre exemple: $n=3, m=2, \bar{u}=7, \bar{u}^{-1}=13$. On a bien $\bar{13}\times6+\bar{1}=\bar{79}=\bar{19}\in U_3$. remarque : $13$ est un germain d'ordre 2, associé à $79$.
  • stfj
    Modifié (August 2022)
    Avec les notations introduites dans le commentaire ci-dessus, j'ai un autre résultat à vous soumettre.
    Théorème : $\forall n \geq 2,\ \forall m,\ 2\leq m \leq n,\ \dfrac{Card J_{n+1,m}}{Card J_{n+1,1}}=\dfrac{(p_m-1)\cdots(p_2-1)}{(p_m-2)\cdots(p_2-2)}$.
    Je ne ferai pas la démonstration de ce théorème ici. Je vous propose d'en tester la validité à nouveau pour les petites valeurs de $n= 2,3, \ldots$. A priori, cela doit être vrai, à moins que je ne me sois emmêlé les pinceaux dans les notations, auquel cas ce ne sera pas difficile d'y remédier avec votre aide. Pour vous motiver si vous ne voyez pas immédiatement l'intérêt de vous pencher sur ce résultat, disons que cela a à voir avec la conjecture célèbre en arithmétique : il y a deux fois plus de sexys que de jumeaux. Et je répète - je l'ai indiqué en gras - que le résultat que j'ai fourni n'est pas une conjecture mais bien un théorème concernant les objets associés aux jumeaux et aux sexys introduits auparavant.
    Cordialement.
  • stfj
    Modifié (August 2022)
    Appliquons le théorème avec $m=3$. On remarque que les rapports sont indépendants de $n$. On trouve que le nombre de $u$ tels que $u+30$ soit aussi dans $(\Z/p_n\#\Z)^\times$ est $\frac{(p_3-1)(p_2-1)}{(p_3-2)(p_2-2)}=\frac{4\times2}{3\times1}=\frac83$. Ce nombre, $\frac83$, est moins abstrait qu'il n'y paraît et peut être mis en évidence ainsi :  considérons une liste de nombres entiers consécutifs suffisamment importante telle que $[\![30\, 000,5\, 000\, 000]\!]$. Je dispose d'un logiciel qui me fournit le nombre de couples $(p,p+2)$ (jumeaux) et de $(p,p+30)$; en l'occurrence, on obtient respectivement $31996$ et $84853$. Faisons le rapport de ces deux nombres : $\frac{84\,853}{31\,996}=2,65...\approx\frac83$. Il semblerait qu'on puisse alors énoncer des conjectures qui rejoindraient peut-être des conjectures  connues. Mais j'avoue que je ne connais pas ces conjectures.
  • stfj
    Modifié (August 2022)
    Appliquons le théorème avec $m=4$. On trouve que le nombre de $u$ tels que $u+210$ soit aussi dans $(\Z/p_n\#\Z)^\times$ est $\frac{(p_4-1)(p_3-1)(p_2-1)}{(p_4-2)(p_3-2)(p_2-2)}=\frac{4\times2}{3\times1}\times \frac65=\frac83 \times \frac65=\frac{16}{5}=3,2$. Si cela intéresse quelqu'un, tout comme dans le commentaire ci-dessus, je peux proposer une "mise en évidence" de $3,2$ sur un intervalle de votre choix jusqu'à $10\,000\,000$.
  • bonjour,
    Je propose un défi, que je n'ai jamais - peut-être faute de temps - relevé : démontrer que l'algorithme illustré dans les premières réponses à cette question fournit bien l'inverse de $a$ dans $\mathbb{Z}/b\mathbb{Z}$ pourvu que $a$ et $b$ soient premiers entre eux. Cet algorithme fonctionne très bien, je l'ai appliqué $15$ fois dans un commentaire ci-dessus. Et avec un peu d'habitude, cela va très vite. C'est en lisant le début du livre de François Liret, Arithmétique pour la licence et le CAPES, que j'ai eu envie de m'y mettre enfin sérieusement. François Liret montre comment obtenir une relation de Bézout avec du calcul matriciel. L'algorithme que je vous propose d'étudier est de toute évidence fondé sur l'algorithme d'Euclide étendu aussi. Avec votre aide, cela serait plus facile que seul.
    Cordialement.
  • stfj
    Modifié (August 2022)
    L'idée exposée par François Liret consiste à utiliser l'équivalence $a=bq+r\Leftrightarrow \begin{bmatrix} b \\ r \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ {\color{Blue}1} & -q \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a \\ b  \end{bmatrix}$. Je me propose de l'illustrer sur un exemple différent de celui proposé par Liret. $$\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 37 \\ 8 \end{bmatrix}$$
    [Même son prénom à droit à une majuscule. AD]
  • @AD: :) Oui, cent fois oui. Si j'ai bien compris le sens de ta remarque, ce monsieur a tous les droits et mérite qu'on les respecte avec soin, le même soin qu'il utilise pour transmettre la mathématique via ses livres- je ne le connais qu'à travers ses livres- avec pédagogie. Je suis un admirateur de son travail avec Dominique Martinais. J'en suis resté longtemps au cours du premier cycle de Jacques Dixmier. Toujours Paris 6 ou 7, je crois. Des "jeunes" qui font honneur à leurs glorieux aînés. Une sacrée tradition française toujours bien vivace :).
  • stfj
    Modifié (August 2022)
    On obtient successivement $$\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ {\color{Blue}-1}& 2 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 37 \\ 8 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ {\color{Blue}2} & -3 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 37 \\ 8 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & -9 \\ {\color{Blue}-3} & (-3)\times(-4)+2 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 37 \\ 8 \end{bmatrix}$$
    A comparer avec l'algorithme consistant à écrire : 
    37..........8...........5..............3...............2....................1
    ..............-4..........-1............-1.............-1
    ................a.........${\color{Blue}-3...........2.........-1}$...............1..........0
    Pour obtenir la dernière ligne, on commence par la droite, en  écrivant "1..........0" puis on calcule -1*1+0; on obtient ${\color{Blue}-1}$; puis -1*(-1)+1; on obtient ${\color{Blue}2}$; puis -1*2+(-1)=${\color{Blue}-3}$; et enfin l'inverse $a$ cherché $a=(-4)\times(-3)+2=14$.
  • Théorème : Avec les notations précédemment introduites, $\text{Card}(J_n)=(p_n-2)...(p_2-2)$
    Corollaire : $\lim\nolimits_{n \to +\infty} \text{Card}(J_n)=+\infty$
    exemple : il y a $3$ jumelles dans $\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}$ à savoir $11, 17$ et $-1$. Il y a $15$ jumelles dans $\mathbb{Z}/210\mathbb{Z}$,...
  • Je n'ai pas tout lu mais tu seras peut-être intéressé par https://mathoverflow.net/questions/61842/about-goldbachs-conjecture si toutefois tu disposes d'assez de courage et de Doliprane.
  • stfj
    Modifié (August 2022)
    @Sylvain : merci :). Malheureusement plus de Doliprane mais je vais jeter un coup d'oeil quand même :). Merci aussi d'intervenir sur le post. Je commençais à avoir l'impression d'y radoter tout seul :). Néanmoins, ce n'est pas un exercice inutile à réserver aux vieux gâteux puisque je viens enfin de retrouver les conjectures connues auxquelles je fais référence dans l'un de mes commentaires. @+
    Pour éviter le Doliprane à ceux qui découvriraient les k-Tuple conjectures : $\prod_{q\text{ prime}, q|15}\frac{q-1}{q-2}=\frac{3-1}{3-2}\times\frac{5-1}{5-2}$ par exemple.
  • stfj
    Modifié (February 2023)
    Ici, on trouve le résultat selon lequel il y a deux fois moins de $(p,p+2,p+6,p+8)$ que de $(p,p+4,p+6,p+10)$. La seule étude de $\mathbb{Z}/210\mathbb{Z}$ rend cette conjecture raisonnable. Mais ici, il s'agit d'un résultat mathématique indéniable : $\{u:(u,u+2,u+6,u+8)\in (U_4)^4\}=\{11,101,191\}$. Tandis que $\{u:(u,u+4,u+6,u+10)\in (U_4)^4\}=\{13;37,97,103,163,187\}$.
    Le rapport des deux cardinaux est bien $2$.
    En outre, ce rapport dans $\mathbb{Z}/p_n\#\mathbb{Z}$ reste égal à $2$ pour tout $n \geq 4$.
    Voici des diagrammes pertinents pour établir ces résultats sans peine : 

  • stfj
    Modifié (February 2023)
    Appelons jumelle d'ordre 2, u de $\Z/p_n\#$ un élément de $U_n$ telle que $u+6 \in U_n$. Notons $J_{n,2}$ l'ensemble des jumelles d'ordre 2 de  $\Z/p_n\#$.
    Appelons germaine d'ordre  2, u de $\Z/p_n\#$ un élément de $U_n$ telle que $6u+1 \in U_n$. Notons $G_{n,2}$ l'ensemble des germaines d'ordre 2 de  $\Z/p_n\#$.
    Théorème : Soit $u \in U_n$. Alors $u\in J_{n,2} \Leftrightarrow u^{-1} \in G_{n,2}$
    La démonstration est identique à celle du post original, pour lequel personne n'a encore formulé d'avis. J'espère que ce nouveau résultat intéressera quelqu'un (Il se généralise encore évidemment.)
    Cordialement,
    Stéphane.
    _________
    Par exemple, les jumelles d'ordre 2 de $\Z/30\Z$ sont$1,7,13,11,17=-13,23=-7$. Il y a bien 6 germaines associées, en l'occurrence les mêmes. Par exemple,  $23+6=-1$ et $23.6+1=19$.
  • stfj
    Modifié (March 2023)
    Théorème : Avec les notations précédemment introduites, $\text{Card}(J_n)=(p_n-2)\dots(p_2-2)$
    exemple : il y a $3$ jumelles dans $\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}$ à savoir $11, 17$ et $-1$. Il y a $15$ jumelles dans $\mathbb{Z}/210\mathbb{Z}$,...
    Ce théorème fournit des classes de nombres auxquelles appartiennent les jumeaux. Par exemple $$(1229,1231)\in (179+210\mathbb Z)\times (181+210\mathbb Z)$$ $\overline{179}$ étant l'une des quinze jumelles citées plus haut. Bref, grâce à la notion de jumelle, on sait au moins où chercher les jumeaux. Ce résultat, sans doute exprimé autrement ailleurs, est élémentaire et j'aimerais bien le trouver dans la littérature mais, pour l'instant, je ne l'ai trouvé nulle part; ce qui me surprend. Si quelqu'un dispose d'éléments à ce sujet, je suis preneur.
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