Une inégalité

Daimon
Modifié (July 2022) dans Analyse
Soit $x>1$. On pose $I(x)=\int^\infty_0 \frac{t^{\alpha}}{\sinh^3(t)}e^{-x\coth(t)}dt$ avec $\alpha\in\Bbb R$.
Comment on montre ceci $$\exists C_1,\ c>0,\ \forall x>1,\quad |I(x)|\leq C_1 e^{- c x}$$
Toute remarque sera la bienvenue et merci.

Réponses

  • Bibix
    Modifié (July 2022)
    Bonjour,

    Tu peux utiliser le lemme de Gronwall mais ce n'est pas nécessaire car vu le résultat demandé, je pense qu'il suffit de séparer ton intégrale en plusieurs morceaux (vois-tu pourquoi?).
  • oui car il y a un problème au voisinage de 0.
    Merci
  • LOU16
    Modifié (July 2022)
    Bonsoir
     Voici ce que je te suggère.
    Tu effectues le peu divertissant changement de variable $u = \coth t$ qui te conduit à $I(x) =\displaystyle \int _1^{+\infty} f(u) \mathrm e^{-x u }\mathrm du$ où $f$ est une fonction, certes dénuée de charme, mais qui est telle que la fonction $g: u\mapsto \mathrm e^{-u/2}f(u) $ est positive, continue sur $]1;+\infty[, $ et de limite nulle en $1^+$ et $+ \infty.\:$ (le choix de l'exposant $3$ du $\text{sh}$ intervient.)
    Ainsi: $\:\: \exists C>0 $ tel que $\forall u \in ]1;+\infty[ \: \:\:g(u) <C, \quad  \forall x>1, \:\:0<I(x)<\displaystyle C \int _1^{+ \infty}\mathrm e^{-(x-\frac 12)u}\mathrm d u< 2C\sqrt{ \mathrm e }\:\mathrm e^{-x}.$
  • Merci beaucoup LOU16. Je vais vérifier les détails.
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