Une inégalité
Réponses
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Bonjour,
Tu peux utiliser le lemme de Gronwall mais ce n'est pas nécessaire car vu le résultat demandé, je pense qu'il suffit de séparer ton intégrale en plusieurs morceaux (vois-tu pourquoi?). -
oui car il y a un problème au voisinage de 0.
Merci -
BonsoirVoici ce que je te suggère.Tu effectues le peu divertissant changement de variable $u = \coth t$ qui te conduit à $I(x) =\displaystyle \int _1^{+\infty} f(u) \mathrm e^{-x u }\mathrm du$ où $f$ est une fonction, certes dénuée de charme, mais qui est telle que la fonction $g: u\mapsto \mathrm e^{-u/2}f(u) $ est positive, continue sur $]1;+\infty[, $ et de limite nulle en $1^+$ et $+ \infty.\:$ (le choix de l'exposant $3$ du $\text{sh}$ intervient.)Ainsi: $\:\: \exists C>0 $ tel que $\forall u \in ]1;+\infty[ \: \:\:g(u) <C, \quad \forall x>1, \:\:0<I(x)<\displaystyle C \int _1^{+ \infty}\mathrm e^{-(x-\frac 12)u}\mathrm d u< 2C\sqrt{ \mathrm e }\:\mathrm e^{-x}.$
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Bonjour!
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