Calcul intégral

OShine
Modifié (July 2022) dans Analyse
Bonjour,
Issu de oral CCINP 2022. Je bloque à la question $3$.



«1

Réponses

  • Cours : lemme de Riemann-Lebesgue 
  • raoul.S
    Modifié (July 2022)
    Si tu veux le démontrer : intégrale par parties.
  • Magnéthorax
    Modifié (July 2022)
    Evidence visuelle. Démonstration : intégration par parties.
    Enoncé mal rédigé.
  • OShine
    Modifié (July 2022)
    D'accord merci. Où est l'évidence visuelle ? 
    Je vais tenter l'intégration par partie je n'ai jamais vu ce lemme.
    Après IPP je tombe sur, si je note $K$ l'intégrale, $K=\dfrac{\phi(0)}{2n+1} + \dfrac{1}{2n+1} \displaystyle\int_{0}^{\pi /2} \phi'(t) \cos ((2n+1) t) dt$
    À mon avis, il faut majorer le terme de droite car le terme de gauche tend vers $0$.
  • math78
    Modifié (July 2022)
    Bonjour
    $\phi(x)$ est continue sur [0,$\frac {\pi}2$], on peut tenter d'utiliser le théorème de la moyenne ,il existe un point intermédiaire $0 \le c \le \frac {\pi}2$ tel que $\int_0^{\tfrac {\pi}2} \phi(x) \sin((2n+1)t) dt = \phi(c)\int_0^{\tfrac {\pi}2}  \sin((2n+1)t) dt$
  • OShine
    Modifié (July 2022)
    Je pensais plutôt au théorème de Heine.
    $\phi'$ est continue sur un segment donc il existe un $M$ réel tel que $|\phi'| \leq M$.
  • Fin de partie
    Modifié (July 2022)
    @OShine: Cela me semble bien ici car la fonction est $C^1$ mais le Lemme de Riemann-Lebesgue est vrai si on suppose seulement la fonction continue*. Il y a quelques décennies je pense qu'une personne se présentant à l'agrégation savait le démontrer ou connaissait la ligne directrice de la démonstration.
    *: et on ne peut plus utiliser une intégration par parties directement.
  • @OShine : Dans une démonstration par récurrence il ne faut pas oublier d'amorcer le processus. Tu n'as rédigé que l'hérédité.
  • @OShine : avec Geogebra, trace le graphe sur (par exemple) $[0,1]$ de $x \mapsto x^2 \sin (100x)$. Si la fréquence est grande, alors les contributions positives et négatives à l'intégrale sur $[0,1]$ tendent à se compenser. 
  • raoul.S
    Modifié (July 2022)
    @OShine: Cela me semble bien ici car la fonction est $C^1$ mais le Lemme de Riemann-Lebesgue est vrai si on suppose seulement la fonction continue*.
    *: et on ne peut plus utiliser une intégration par parties directement.
    L'intégration par parties sert à montrer que le lemme est vrai pour les fonctions $C^1$ à support compact. Il s'ensuit immédiatement par densité de ces dernières dans $L^1$ que le lemme est vérifié dans $L^1$. 
  • Fin de partie
    Modifié (July 2022)
    @raoul.S: Je suis au courant merci. On peut aussi invoquer plus sobrement le théorème de Stone-Weierstrass qu'un agrégatif était censé connaître il y a quelques années.
    PS : 'il s'ensuit immédiatement que..." . Je pense qu'on demande à un agrégatif autre chose que d'agiter les mains me semble-t-il.
  • @Fin de partie je suis loin d'avoir terminé programme de l'agrégation interne. 

    Mais ayant changé de livre je vais plus vite qu'avant. J'étudie l'arithmétique en ce moment j'ai fini les groupes cycliques. 
    J'ai perdu 2 ans avec le livre de prépa tout en un alors qu'il y a des livres beaucoup plus clairs avec des exercices plus abordables et où j'apprends plus de choses.


  • PS; 'il s'ensuit immédiatement que..." . Je pense qu'on demande à un agrégatif autre chose que d'agiter les mains me semble-t-il.
    On est sur un forum de math, pas en train de passer l'agrégation...
  • OShine
    Modifié (July 2022)
    Je suis arrivé à la question $4$ j'ai un doute comment un fonction non définie en $0$ peut être continue en $0$. Elle est prolongeable par continuité en $0$ mais est-ce suffisant ?


  • OShine
    Modifié (July 2022)
    J'ai fini l'exercice après je ne sais pas si c'est correct.

  • Bonjour,

    OShine:
    > J'ai perdu 2 ans avec le livre de prépa tout en un alors qu'il y a des livres beaucoup plus clairs
    > avec des exercices plus abordables et où j'apprends plus de choses.

    Non ! Tu as perdu beaucoup plus que ça à cause de ton refus de suivre les conseils !

    Cordialement,
    Rescassol

  • Donne les références des bouquins que tu utilises maintenant. Des gens pourront te dire s'ils sont adaptés à ton niveau, ou si tu vas encore perdre des années.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine
    Modifié (July 2022)
    Arithmétique Jean Francois Liret. Je commence le chapitre 6 sur les anneaux et corps. 
    C'est rare que je bloque dans ce livre pourtant beaucoup de choses nouvelles comme les groupes quotients. 
    L'auteur explique super bien et les exercices sont de niveau accessible.
  • zeitnot
    Modifié (July 2022)
    OShine a dit :
    J'ai perdu 2 ans avec le livre de prépa tout en un
    Quelle trahison !
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • @OShine; J'imagine que tu n'as pas contemplé pendant deux ans la couverture d'un livre de mathématiques. Tu l'as parcouru et tu as essayé de faire des exercices donc a priori ce n'est pas du temps complètement perdu même si tu estimes que tu aurais pu employer ce temps plus efficacement.
  • OShine
    Modifié (July 2022)
    Non mais j'ai perdu du temps à essayer de comprendre un cours pas très clair et peu pédagogique avec des exercices trop difficiles.
  • JLapin
    Modifié (July 2022)
    Encore un avis complètement stupide...
    Pour la 50e fois : tu n'étais pas le public de ce bouquin et tu n'as aucune capacité pour juger de la pédagogie ou de la clarté de celui-ci, tout comme du Grifonne (algèbre linéaire) que tu as utilisé un temps ou des vidéos de M. Caldéro.
  • Un auteur de livre ne choisit pas ses lecteurs, par contre un lecteur peut (et doit) choisir ses livres.
    Si tu n'es pas capable de choisir les livres adaptés à ton (très faible) niveau, n'en rejette pas la faute sur les auteurs des livres.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Fin de partie
    Modifié (July 2022)
    @Lourrran: on choisit comment un livre de mathématiques quand on n'a pas le recul nécessaire et qu'on est tout seul dans son slip ?
    Ici, quand tu demandes un conseil sur un livre, vont se mélanger l'avis de gens qui n'ont pas compris la demande, ils croient qu'on leur demande quel est leur livre préféré sur le sujet et des gens qui ont compris la question.
  • JLapin
    Modifié (July 2022)
    Tu as des exemples de telles réponses idiotes de gens qui n'ont pas compris la question selon ton point de vue ?
    Sinon, il est évident que comme le signale Lourran, un lecteur doit choisir ses livres avec un minimum de discernement. Et quand on est seul dans son slip, mais pour je ne sais quelle raison obligé d'acheter un livre de maths, on se débrouille en fonction de ses objectifs.
  • Fin de partie
    Modifié (July 2022)
    @JLapin: On a déjà vu ici des gens soutenir qu'on devrait apprendre les mathématiques en lisant les traités de Bourbaki.
    PS.
    Qu'est-ce qui ressemble le plus à un livre de mathématiques, qu'un autre livre de mathématiques ?
    PS2.
    La plupart des intervenants sur ce forum n'ont pas étudié tout seul dans leur coin un cours de mathématiques post-bac. Un bouquin choisi par eux dans une librairie venait en complément d'un cours dispensé par une personne en chair et en os à laquelle ils pouvaient poser des questions.
    Si ces gens arrivaient à s'approprier  5% de la substance du bouquin ils en étaient contents, les 95% manquants pourraient être comblés par le cours qu'ils suivaient par ailleurs.
    Mais pour une personne qui n'a qu'un bouquin, 5% c'est un trop faible ratio qui ne sera pas complété par une autre source.
  • Je pense qu'on est parti sur du FdP de haut niveau, c'est bon, on devrait avoir de la lecture pour le Week-End.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @Lourrran: tu t'aperçois que tu n'avais pas réfléchi sérieusement à la question.
  • Pour le coup FdP a raison. La plupart des livres sont utilisés en complément d'un cours dispensé par une véritable personne (ce que je continue de recommander fortement à OShine, va t'inscrire en fac de maths !).
    Réussir à trouver un livre qui permet de tout apprendre en autodidacte, c'est placer la barre extrêmement haut. Peu de livres sont suffisamment pédagogiques et captivants que pour y arriver. 
  • Lol,  j'avais bien vu. La machine FdP est lancée, on va avoir du très très lourd.
    Je vais peut être annuler ce que j'avais prévu pour cette après-midi.



    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Bonjour 
    Qu'avais-tu prévu @lourrran ? Un après-midi à la terrasse du coin peut-être ....  B)
  • JLapin
    Modifié (July 2022)
    Oshine a à peine le niveau d'autonomie d'un collégien pas très fort en maths donc évidemment qu'il n'a aucune capacité à choisir seul un livre.
    Par contre, un amateur éclairé n'a pas forcément besoin d'un avis extérieur s'il souhaite choisir un bouquin selon ses objectifs : une simple lecture du sommaire, de la quatrième de couverture, de la préface peuvent être suffisant.
  • Le Grifone est bien partie cours mais les livres avec des exercices non corrigés en détail ne sont pas pour moi.
    Et les exercices ne sont pas très intéressants. 


  • JLapin
    Modifié (July 2022)
    OShine a dit :
    Et les exercices ne sont pas très intéressants. 
    Tu as un rapport d'un jury quelconque pour appuyer cette assertion idiote ?
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (July 2022)
    Cyrano a dit :
    Réussir à trouver un livre qui permet de tout apprendre en autodidacte, c'est placer la barre extrêmement haut. Peu de livres sont suffisamment pédagogiques et captivants que pour y arriver. 
    Je crois que le problème est plutôt qu'aujourd’hui les auteurs de livres ne savent pas se placer au niveau de l'apprenant... c'est d'ailleurs aussi le cas de la plupart des enseignants du supérieur qui considèrent que leurs étudiants ont un niveau théorique minimum (et c'est bien entendu normal dans leur cas, ils n'ont pas à dénaturer leurs cours pour les adapter aux mauvais étudiants).
    Néanmoins, on est loin de ce que certaines anciennes séries de bouquins pouvaient offrir. Si je devais conseiller, même si je n'ai pas d'espoir qu'il tienne compte de mon conseil, une lecture à @OShine (qui tient tant à ne vouloir faire que des "mathématiques supérieures") ce serait sûrement le Cluzel-Vissio de Deuxième CT conforme au programme de l'année 1969 (l'année 1969 est IMPORTANTE ici). Que ce soit le cours, les exercices ou les exemples, tout est d'un niveau suffisamment fondamental (je crois me souvenir d'un fil d'@OShine où il disait notamment avoir du mal avec, par exemple, les relations/classes d'équivalences... ça n'aurait je pense pas été le cas avec ce livre) sans pour autant cacher ou dénaturer la difficulté et ça se retrouve dans certains exercices.
    Bien évidement, s'il achète ce livre (ou un autre de cette époque... mais je lui conseille tout de même cette collection) je l'encourage ensuite à continuer avec les livres de Première et Terminale C(DE) de 1970 et 1971. Peut-être comprendra-t-il enfin (et je lui souhaite !) tout ce avec quoi il galère
    Enfin, si je me permets de lui proposer ça c'est parce qu'il est quand même prof... il a eu son CAPES et il arrive... plus ou moins et non sans mal... à faire des problèmes de Spé. J'imagine donc qu'il doit être capable de lire un livre de Seconde, quand bien même il s'agissait de la Seconde la plus difficile de l'histoire de l'enseignement de la Mathématique en France. :)
    Sur ce, je retourne dans ma grotte avant la vague de chaleur.
  • @JLapin: Tu me demandais l'exemple d'une personne qui confond son bouquin préféré et un livre qui pourrait être utile à OShine, il y a un tel exemple dans le message précédent.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (July 2022)
    @Fin de partie Merci de ne pas inférer des accusations péremptoires. Il ne s'agit absolument pas de mon bouquin préféré (et de trèèèèèès loin). En revanche, ce livre contient tout ce dont @OShine à besoin. Cours, exercices et exemples simples, pour ne pas dire "réels" et applicables à la vie de tous les jours (bon, j'avoue, faut les chercher loin ces exemples là). Et tu devrais le savoir, toi qui as reçu l'enseignement des mathématiques modernes (certes, lorsque tu es arrivé en Deuxième C, les exemples "réels" du début des années 70 n'y étaient plus (normal, ils étaient au collège)), celles-ci ne sont en rien compliquées, et, bien au contraire, extrêmement formatrices.
  • Et puis franchement, entre un cours de Prépa et un livre de Deuxième C... Je ne mettrais pas à ma main à couper sur le fait que le cours de prépa soit moins compliqué, hein...
  • @Dp: La théorie des groupes me semble être un contexte suffisamment riche pour introduire la notion de classes d'équivalence et de quotient de structures.
    En seconde en 1969 c'était quoi l'exemple le plus élaboré de quotient de structures et de classes d'équivalence? L' ensemble des vecteurs du plan avec le relation d'équipollence sur les bipoints du plan?
  • La congruence dans $\Z$, le parallélisme des droites d'un plan, l'équipollence des bipoints, l'équivalence des fractions (l'ensemble $\Q$), etc... oui, c'était vue "simplement", et alors ? À quoi ça lui sert de faire de la théorie des groupes alors qu'il arrive à peine à comprendre la notion de relation ? Ne vaut-il pas mieux revenir aux bases ? Et tant qu'à faire, des bases solides ?
  • @Dp: La plupart des gens comprennent un concept quand il est mis en oeuvre, pas quand on le présente sous une forme axiomatique.
  • Voici l'exemple des relations et classes d'équivalences ainsi que des fractions et de la congruence dans $\Z$ tirés de mon Queysanne-Revuz de 1969 (je n'ai que lui sous la main). Tu vas me soutenir que c'est axiomatique et qu'il n'y a aucune mise en œuvre ?


  • Tu perds ton temps!
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Fin de partie
    Modifié (July 2022)
    @DP: C'est exactement ce que j'imaginais. À l'époque personne ne lisait les pages de cours de ces bouquins*. Le livre servait seulement pour les exercices : c'était pratique pour le prof', reproduire des énoncés d'exercices était pénible et je ne suis pas sûr que c'était bon pour la santé de sniffer des vapeurs d'alcool à brûler.
    *: J'imagine que c'est encore vrai aujourd'hui.
    PS.
    Je suis mauvaise langue. Le prof' lisait le bouquin.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (July 2022)
    @Fin de partie Tu es surtout de mauvaise foi. Tu ne veux pas admettre que tu as tort. Car tu ne vas pas me faire croire que ça, c'est moins axiomatique ou plus facile (d'autant plus qu'il y a les mêmes exemples et applications que dans le cours de Deuxième C mais parachutés et jamais utilisés, toi qui tient tant à la mise en œuvre) [Pour ta gouverne c'est tiré du cours de MPSI aux éditions Dunod ©2018):
    Je te propose de revoir cette petite vidéo.
  • Fin de partie
    Modifié (July 2022)
    @Dp: Tu sais, je ne prétends pas connaître grand chose en mathématiques mais je pense que je suis capable de te reproduire de tête toutes les informations de ton premier pdf et cela j'aurais pu le faire avant de le parcourir.
    Je n'ai pas appris comme un perroquet des définitions, ces définitions font écho à des objets dans ma tête, il y a une communication très étroite entre les définitions et ces objets. Ces définitions n'ont aucun sens (elles n'en avaient pas beaucoup quand j'étais en 5ème ou en 4ème) si tu n'es pas familier avec des exemples qui illustrent le concept et qui motivent son utilisation (autrement c'est du bourrage de crâne)
    Il faudrait demander à OShine ce qu'il en pense plutôt.
    PS.
    Le truc qui m'a sûrement aidé à l'insu de mon plein gré est la représentation mentale des ensembles qu'on te mettait dans la tête  au collège dans les années 70. Quand on me parle d'ensemble je vois une patate pour ainsi dire (diagramme de Venn est le nom officiel si je me souviens bien).
  • FdP et OShine sont aussi impressionnants l'un de l'autre. On croit qu'on est descendu au plus bas, qu'on ne peut pas descendre plus bas, et ils arrivent encore à nous surprendre.
    C'est pour ça que les discussions initiées par l'un ou l'autre sont aussi longues. 
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Tiens au passage, quelqu'un saurait pourquoi on a choisi le mot "équivalence" dans les relations d'équivalence? Pour une fois le choix du vocabulaire est pour moi plus une entrave à la compréhension qu'une aide. "relation" tout court eut été plus clair.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (July 2022)
    @Fin de partie Tu sais, je ne prétends pas moins de toi. Ce que je te reproche c'est d'oser me dire que le cours que je t'ai joint en PDF n'a aucun sens et ne dispose pas d'exemples qui illustrent les concepts... sans prendre en compte que
    d'une : @OShine est un prof de mathématique avec le CAPES, il a déjà vue de nombreux exemples;
    de deux : de nombreux exemples sont parsemés dans le dit cours.
    Sache aussi (et nous savons tout deux que tu le sais déjà), que ce les cours de mathématiques modernes ne sont en rien du bourrage de crane... à la condition de lire et apprendre le cours, d'exploiter les exemples et faire les exercices. Je sais bien qu'à ton époque, ce programme étant ultra ambitieux seule une très large minorité des élèves arrivaient à en tirer quelque chose par manque de temps pour pratiquer. Ce qui n'est pas le un soucis pour @OShine qui a tout le temps du monde.
    De plus, te rends-tu comptes que tout ce que tu reproches à un cours (tel que proféré dans les années 70) de mathématiques modernes peut s’appliquer à un cours de sup/spé actuel ? (manque de temps, manque de recul, peu d'applications, des élèves qui sont en majorité largués et qui appliquent des "méthodes" de par cœur (voir le succès des livres "méthodes et exercices" ainsi que les questions sur les forums), etc...)
    PS. Oui, je sais qu'il faudrait envoyer @OShine sur un cours "normal" de lycée mais celui-ci s'y refuse.
    PPS. Les diagrammes de Venn et autres relations sont bien évidement introduit au début des cours de Deuxième CT de 1969, avec des applications souvent réelles et concrètes dans les exercices.
  • Relation d'équivalence.

    La notion de relation est très générale. Dans la vraie vie, il y a une relation client-fournisseur (qui n'est pas une relation d'équivalence)
    Le concept de relation est très général. Une relation, c'est un truc qui relie 2 éléments A et B
    Point final
    Dès qu'on a un diagramme avec des points et des flèches entre ces points, on a un diagramme qui représente une relation.
    Cette relation peut être réflexive ou pas, symétrique ou pas, transitive ou pas.
    Si elle a plein de belles propriétés, c'est une relation d'ordre. Ordre partiel ou ordre total. Si elle a plein d'autres propriétés, c'est une relation d'équivalence. Quand le mot 'relation d'équivalence' apparaît, l'élève a déjà eu plusieurs heures de cours sur toutes ces notions préliminaires sur les relations.

    Si on considère que le mot relation désigne spécifiquement les relations d'équivalence, quel mot on va employer pour le concept de relation en général ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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