Majoration d'une intégrale

blade
Modifié (July 2022) dans Analyse
Bonjour !
On considère une fonction $f$ à valeurs réelles, intégrable sur $[0,1]$ et telle que $\int_0^1 f(t)\mathrm{d}t = 0$. On pose $m$ sa borne inférieure et $M$ sa borne supérieure sur $[0,1]$.
Montrer que $\int_0^1 f^2(t)\mathrm{d}t \leq -mM$.
J'ai essayé d'utiliser Cauchy-Schwarz, mais je n'arrive pas à trouver comment bricoler à partir de ça...
Merci pour votre aide !

Réponses

  • Fin de partie
    Modifié (July 2022)
    Il faudrait sûrement commencer par voir que $-m\geq 0$.
    Après j'ai l'impression que la propriété:  $0\leq a\leq b$ et $0\leq a'\leq b'$ entraîne $aa'\leq bb'$  pourrait bien se cacher derrière ce que tu cherches à démontrer.
  • Je vais insister dans cette voie.
    Sinon en effet, j'ai évacué le cas où $f=0$, et je considère $m < 0 < M$ (en utilisant le fait que l'intégrale est nulle).
    J'ai essayé d'utiliser $-M \leq -f \leq -m$, mais pas réussi à combiner comme il faut. La bonne manip m'échappe pour l'instant...
  • $f^2(x)=|f(x)|^2$
  • blade
    Modifié (July 2022)
    Merci
    $f^2(x) = |f(x)|^2 = |f(x)| |-f(x)|$.
    $|f(x)| \leq M$ (définition de $M$)
    $|-f(x)| \leq \max(-m, M)$
    Donc $f^2(x) \leq M . \max(-m,M)$. Je n'ai pas mieux pour l'instant.
    Je passe par $-f$ pour sortir ce $-m$ mais ce n'est peut-être juste pas ça.
    Il doit faire trop chaud, c'est sûrement tout bête mais ça m'échappe. Avec un peu de repos, ça viendra peut-être !
  • On a bien envie de regarder $\displaystyle \int_0^1 (M-f(t))(f(t)-m) \text{d} t$, non ?
  • etanche
    Modifié (July 2022)
    Cet exercice peut-être un casse tête.
    $(f-M)(f-m) \leq 0$ développer et intégrer.
  • Ah oui quand même. Je n'étais pas près de trouver. Il aurait fallu reconnaître les termes d'un développement. C'est joli, en tout cas. Merci beaucoup.
  • Rien dans les hypothèses suggère qu’il faille considérer $ (f-M)(f-m) \leq 0 $.
    Par contre on pense à utiliser Cauchy-Schwarz, qui ne donne rien ici. 
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