Généralisation de la conjecture de Collatz

marco
Modifié (April 2022) dans Arithmétique
Bonjour,
Soit $C$ la conjecture de Collatz, et $C_k$ une variante de la conjecture de Collatz , pour laquelle la suite est $u_{n+1}=(2^{k}-1)u_n+1$ si $u_n$ est impair, et $u_{n+1}=u_n/2$ si $u_n$ est pair. On a donc $C=C_2$. Est-ce que $C_k$ a été résolue pour un $k>2$ ? Ou alors est-ce que des équivalences entre les $C_k$ ($k>2$) et $C$ ont été montrées ?
Merci d'avance.

Réponses

  • gerard0
    Modifié (April 2022)
    Bonjour.
    Tu utilises la même lettre n pour deux choses différentes ! Veux-tu rectifier ton énoncé ? 
    Sinon, il y a des généralisations qui ont été bien étudiées, cherche sur Internet... 
    Cordialement.
  • Merci Gerard0.
  • gerard0
    Modifié (April 2022)
    Tu as sans doute des éléments dans "La suite de Syracuse, un monde de conjectures" (Luc-Olivier Pochon, Alain Favre).
    Cordialement.
  • Merci !
  • Si on pose $q=(2^{k}-1)$, $k\in \N$, $k\geqslant 2$, alors les processus $C$ et $C_{k}$, $k\geqslant 2$ sont tous deux des généralisations du problème $"3\cdot x+1"$ sous la forme $"q\cdot x+1"$, avec $q\geqslant 3$ un nombre de Mersenne. Et donc $C$ est un cas particulier de $C_{k}$. Par conséquent, si $C_{k}$ était résolu, $C$ allait l'être par déduction. Or ce n'est pas le cas.
    Toutefois, pour quel que soit $k\geqslant 2$, si on pose $s_{0}=1$ et $s_{k-1}=q+2=(2^{k}+1)$, alors $C_{k}(s_{0})=2^{k}$ et $C_{k}(s_{k-1})=2^{2 k}$.
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