Théorème d'Abel angulaire si $a_n \ge 0,\ \forall n \in \mathbb{N}$ ?

fifi21
fifi21
Modifié (June 2022) dans Analyse
Bonjour, 
j'ai un exercice sur le théorème d'Abel angulaire (étant donnée une série entière $\sum a_nz^n$ telle que $\sum a_n$ converge, alors en restant dans un secteur angulaire, on a $\lim\limits_{z\to 1}\sum a_nz^n=\sum a_n$), et on me demande ce que l'on peut en dire si $a_n \ge 0,\ \forall n$.
Dans ce cas, je dirais que la suite des sommes partielles est croissante et alors peut-être avec un argument de convergence monotone pour la mesure de comptage, on pourrait passer à la limite sans introduire ce secteur angulaire. Mais je ne sais pas trop comment le formaliser et je suis un [peu] perdu sur les  éléments à qui appliquer le théorème, parce que le théorème de la convergence monotone ne s'applique pas pour $z \to 1$, mais plutôt pour une suite telle que $z_m\to 1$.
Ou alors peut-être que ce n'est pas du tout cet argument qu'il faut donner...
Merci par avance et bonne journée.

Réponses

  • M.Floquet
    M.Floquet
    Bonjour, pour pouvoir appliquer le théorème de convergence monotone tu aurais également besoin de la positivité de la "suite" de fonctions.
  • fifi21
    fifi21
    Bonjour, oui en effet j’ai oublié cette hypothèse.
    Dans ce cas je ne vois pas ce qu’il faudrait dire du théorème d’Abel angulaire sous l’hypothèse que $a_n \ge 0$
  • Lars
    Lars
    Modifié (June 2022)
    Bonsoir
    Utilisez le théorème de la convergence dominée et "étendre le secteur".
  • JLapin
    JLapin
    Si les $a_n$ sont positifs, il y a convergence normale sur le disque fermé donc continuité de la somme. Mais peut-être que je n'ai pas compris la question.
  • fifi21
    fifi21
    Je ne comprends pas bien où vous voulez en venir …
    Il faut que j’applique le TCD à «$(\sum a_nz^n)_n$ ?
    Le fait de supposer $a_n\ge 0$ ne rend donc pas la preuve plus simple ?
  • Lars
    Lars
    La preuve est plus simple et on a mieux et ceci sans utiliser le théorème angulaire d'Abel.
    Donc oubliez votre théorème angulaire d'Abel.
  • fifi21
    fifi21
    D’accord mais alors je ne comprends pas quand vous dites d’étendre le secteur
  • M.Floquet
    M.Floquet
    Modifié (June 2022)
    Dans le cas où les $a_n$ sont positifs, il n'y a plus de problèmes de secteurs angulaires, on peut travailler sur tout le disque unité.
  • JLapin
    JLapin
    Modifié (June 2022)
    fifi21 a dit :
    D’accord mais alors je ne comprends pas quand vous dites d’étendre le secteur
    Et que penses-tu de ma réponse ?
  • fifi21
    fifi21
    bonjour @JLapin,
    votre réponse me conviendrait, seulement, je ne connais pas (ou alors je ne m'en rappelle pas) ce résultat que $a_n\ge 0 \implies$ CVN sur le disque fermé
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (June 2022)
    Ce n'est pas un résultat : c'est une conséquence de la définition de la convergence normale et des hypothèses.
    Si la suite $(a_n)_{n\in\N}$ est positive, on peut aussi remarquer que la fonction $\displaystyle{x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n}$ est croissante sur $[0,1]$. On peut en déduire que \[\lim_{x\to 1}\Big(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\Big) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n\] que la série $\displaystyle{\sum_{n\geq} a_n}$ converge ou non.
  • fifi21
    fifi21
    merci pour cette précision @MrJ, mais c'est justement ce "en déduire" qui me pose problème
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (June 2022)
    Comme la fonction $\displaystyle{x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n}$ est croissante, elle admet une limite $\ell$ lorsque $x\mapsto 1$ éventuellement infinie. Comme la fonction $f$ est majorée par $\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty} a_n}$, on a que $\displaystyle{\ell \leq \sum_{n=0}^{+\infty} a_n}$. De plus, on a\[\forall x\in [0,1],\quad \forall N\in\N,\quad \sum_{n=0}^N a_n x^n \leq \ell.\]En prenant la limite quand $x\to 1$, on en déduit que\[\sum_{n=0}^N a_n \leq \ell.\]Finalement, en prenant la limite lorsque $N\to +\infty$, on a\[\ell = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n.\]Attention : je n'ai pas distingué le cas $\ell = +\infty$ du cas $\ell\in\R$, car cela ne change pas la trame de la démonstration, mais ce serait sûrement plus rigoureux de distinguer les deux cas.
  • fifi21
    fifi21
    d'accord, merci beaucoup pour votre aide, j'ai compris à présent !
    bonne journée
  • JLapin
    JLapin
    fifi21 a dit :
    bonjour @JLapin,
    votre réponse me conviendrait, seulement, je ne connais pas (ou alors je ne m'en rappelle pas) ce résultat que $a_n\ge 0 \implies$ CVN sur le disque fermé

    Calcule la norme infinie de $z\mapsto a_n z^n$ sur le disque fermé de centre $0$ et de rayon $1$.
  • fifi21
    fifi21
    dans ce cas on aurait $\vert z\vert =1$ et dons $\Vert a_nz^n\Vert_\infty=\sup_{z\in D(0,1)}\vert a_nz^n\vert= a_n $?
  • fifi21
    fifi21
    et on a $\sum a_n$ converge par hypothèse donc par caractérisation de la CVN, on a CVN sur le disque fermé, et donc continuité de la somme 
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (June 2022)
    Bonjour.
    J'ai peut-être raté quelque chose dans la discussion, mais pour $\sum_0^{+\infty} z^n$ les $a_n=1$ sont bien positifs, mais il n'y a pas convergence normale sur le disque fermé, puisqu'il contient z=-1.
    OUI, J'avais raté une marche
    Cordialement.
  • Lars
    Lars
    Modifié (June 2022)
    Bonjour
    Et donc, qu'est-ce qu'on peut en dire  ? Si on revient à la question initiale...
  • fifi21
    fifi21
    Modifié (June 2022)
    Et donc on peut passer à la limite quand $z\to 1$ par caractérisation de la continuité.
  • Lars
    Lars
    Modifié (June 2022)
    Oui, tout à fait, mais si on vous pose la question c'est sans doute pour comparer les 2 résultats et pour rappeler que dans ce cas particulier, la preuve est triviale (y a aussi le cas $\sum |a_n|<+\infty$).
    Plus précisément, si on veut comparer :
    le résultat que vous venez de montrer... lorsque $z$ tend vers $1$, $z$ appartenant au disque unité ;
    le théorème d'Abel donne... lorsque $z$ tend vers $1$ en restant dans un secteur angulaire.
    Par ex, si vous prenez la suite $(z_n)_{n\ge 2},\  z_n=x_n+iy_n,\  x_n=re(z_n),\  y_n=im(z_n),\  x_n=1-1/n, \  y_n>0,\  x_{n}^{2}+2y_{n}^{2}=1$  ($z_n$ tend vers $1$ suivant une trajectoire elliptique qui reste dans le disque unité et tangente au cercle unité en $z=1$) vérifiez qu'un des résultats s'applique, l'autre non (convergence de la suite $(f(z_n)$).
  • fifi21
    fifi21
    merci pour vos précisions, je vais essayer ;)
  • Lars
    Lars
    Modifié (June 2022)
    Bonjour
    Si vous regardez cet exemple numérique vous pourrez regarder le rapport $\dfrac{|1-z_n|}{1-|z_n|}$. Si vous voulez, pour simplifier les calculs, vous pouvez mettre au carré le $|z_n|$ du dénominateur.
    Puis, jetez un œil à une preuve du théorème sectoriel pour voir où ce rapport intervient.
  • M.Floquet
    M.Floquet
    Assez marrant, si on regarde le 3ème retour (en partant du haut) de https://agreg-maths.fr/ressources/retours il y a eu exactement la même question qu'ici de la part du jury d'agrégation  :D !
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