Weierstrass par les probas
Bonjour,
je bosse un développement d'agrégation classique : Weierstrass par les probas, dans le Kieffer
Je ne comprends [pas] pourquoi faire intervenir l'espérance de E(f(Sn/n)) via le théorème de transfert.
Même si le Kieffer en parle dans la démo, il n'utilise pas cela après car on peut très bien majorer la différence entre f et les polynômes de Bernstein sans passer par l'espérance.
Je me trompe...?
je bosse un développement d'agrégation classique : Weierstrass par les probas, dans le Kieffer
Je ne comprends [pas] pourquoi faire intervenir l'espérance de E(f(Sn/n)) via le théorème de transfert.
Même si le Kieffer en parle dans la démo, il n'utilise pas cela après car on peut très bien majorer la différence entre f et les polynômes de Bernstein sans passer par l'espérance.
Je me trompe...?
Réponses
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C'est pour utiliser l'inégalité de Bienaimé-Chebychev.---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
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Cette démonstration a longtemps été présentée sans introduire le vocabulaire probabiliste, même si maintenant c'est à la mode de la présenter sous cet aspect.En fait, même si je n'ai jamais réfléchi à la question, je me demande si une interprétation probabiliste a abouti à introduire les polynômes de Bernstein par exemple, ou si c'est simplement juste une autre écriture d'exactement la même chose ; car effectivement les majorations (y compris Markov ou son corollaire cité ci-dessus) sont des trivialités d'analyse et ne nécessitent absolument pas un truc fin de probas.
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Bonjour
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Positif : Bienaymé Tchebychev, c'est pour la fin de la démo, où on utilise en fait l'espérance de Sn/n et non de f(Sn/n)
Ma question porte sur le début, pour majorer la valeur absolue de Bn(x)-f(x), on peut passer par une inégalité triangulaire classique (c'est ce que fait le Kieffer) et non écrire que |Bn(x)- f(x)|=|E(f(Sn/n) - f(x)|<E(|f(Sn/n) - f(x)| puis ensuite passer aux sommes etc...
j'ai l'impression que cette histoire d'espérance est juste un prétexte pour caser cela dans la leçon sur les espérances.
math2 : j'ai lu dans le livre d'Appel que cette demo n'est pas si 'probabiliste" que ça effectivement.
[Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878) prend toujours une majuscule, tout comme Walter Appel. AD] -
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natounou a dit :j'ai lu dans le livre d'Appel que cette demo n'est pas si 'probabiliste" que ça effectivement.Cette démo est probabiliste dans la mesure où elle utilise le calcul de la variance d'une loi binomiale ainsi que quelques propriétés algébriques annexes (formule de transfert, croissance et linéarité de l'espérance, etc.).Si tu veux voir d'autres utilisations des probas dans un contexte d'analyse, tu peux regarder quelques récents sujets du concours Mines Pont.
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Elle n'est pas si probabiliste dans le sens où elle ne fait qu'habiller une démonstration d'analyse avec le langage des probabilités mais n'utilise aucun résultat profond de probabilités. Ce n'est pas une preuve probabiliste en ce sens.
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HéhéhéÇa va dépendre de ce qu'on fait. On peut produire une démonstration rigoureuse et particulièrement indigeste comme dans le Gourdon d'analyse où on a simplement emprunté les calculs probabilistes sans dire ce qui les a inspirés.Ou alors on prend une suite de variables aléatoires uniformes $(X_n)_{n\in \N}$ et on mesure la variance d'une quantité idoine, produisant les calculs ci-dessus.Le problème dans cette dernière approche est que pour que ce soit vraiment une preuve de Weierstrass, il faut prouver l'existence d'une telle suite (ou ce qui revient au même : construire une mesure produit des mesures uniformes sur $[0,1]^{\N}$ ce qui n'est pas insurmontable mais quand même pénible).La seule chose que démontre la fameuse "preuve probabiliste" est l'implication :il existe une suite i.i.d $(X_n)_{n\in \N}$ dans $[0,1]\ \Rightarrow$ toute fonction continue de $[0,1]$ est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Il suffit qu'il existe une variable qui suive une loi binomiale de paramètre $(n,x)$ pour $n$ assez grand en fait, ce qui est plus simple à établir.Mais je suis d'accord qu'il est important d'être conscient (surtout dans un concours de recrutement d'enseignant) que cette preuve s'appuie sur l'existence de variables aléatoires idoines.
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Bonjour Natounou,
si cela peut t'aider, voilà un exercice sur Weierstrass probabiliste.
Bonne journée.
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