Préservation de la complétude par normes équivalentes

fifi21
Modifié (June 2022) dans Analyse
Bonjour, 
le fait que si on a 2 normes équivalentes, alors un espace complet pour l'une est aussi complet pour l'autre vient-il simplement du fait que toute suite convergente pour l'une converge pour l'autre ? Ou alors y a-t-il un autre argument plus subtil ?
Merci.

Réponses

  • gerard0
    Modifié (June 2022)
    Bonjour.
    Rédige la démonstration, tu verras bien !!
    Cordialement.
  • fifi21
    Modifié (June 2022)
    C'est ce que j'ai fait, j'ai l'impression que c'est juste ça l'argument, mais ça me paraît étrange alors je crains d'être passé à côté de quelque chose ;)
  • Non, aucun autre argument. 
    ---> I believe in Chuu-supremacyhttps://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
  • fifi21
    Modifié (June 2022)
    Très bien, merci !
  • Heu ... si tu as vérifié chaque étape, chaque théorème appliqué, chaque utilisation d'une définition, il n'y a pas de problème. Pourquoi trouves-tu ça "étrange" ?
  • raoul.S
    Modifié (June 2022)
    Je ne suis pas d'accord avec la réponse donnée.

    Si deux normes sont équivalentes alors le fait que les espaces correspondants soient simultanément complets ou non-complets découle directement surtout du fait que les suites de Cauchy sont les mêmes pour les deux normes.

    Attention au fait que dans un espace métrique général on peut très bien avoir deux distances telles que l'espace est complet pour l'une et pas pour l'autre et qui ont pourtant les mêmes suites convergentes.
  • merci Raoul, vous avez un exemple qui illustre votre 'attention' ? 
  • gerard0
    Modifié (June 2022)
    Donc Fifi21, tu n'avais pas vérifié toutes les étapes de ta preuve (je ne sais pas laquelle, on n'en a pas le texte).
    C'est vrai que c'est parfois difficile. Ici, on peut très bien partir de "Soit $U$ une suite de Cauchy", ce qui n'a évidemment pas de sens, puisqu'on n'a pas précisé la norme utilisée. Alors que si on part de $(E,N_1)$ est complet pour arriver à $(E,N_2)$ est complet, il est logique de continuer par "Soit $U$ une suite de Cauchy pour $(E,N_2)$" et se poser tout de suite le problème que signale Raoul.S : est-ce qu'on peut appliquer la complétude de $(E,N_1)$ ?
    Cordialement.
  • raoul.S
    Modifié (June 2022)
    D'ailleurs en lisant le message de gerard0 ci-dessus je me rends compte que mon message peut être mal interprété. Je vais le modifier.fifi21 a dit :
    merci Raoul, vous avez un exemple qui illustre votre 'attention' ? 
    Oui par exemple on peut considérer $\R$ muni de la distance usuelle qu'on notera $d$ et de la distance $\delta$ définie par $\forall x,y\in \R, \ \delta(x,y):=|\arctan(x)-\arctan(y)|$. On a $(\R,d)$ est complet mais $(\R,\delta)$ non (par exemple la suite $(n)_{\N}$ est de Cauchy mais ne converge pas dans cet espace). Pourtant $d$ et $\delta$ ont les même suites convergentes car ces deux distances définissent la même topologie sur $\R$.
  • d'accord merci, j'avais déjà rencontré cet exemple mais jamais dans ce cadre là
  • math2
    Modifié (June 2022)
    En fait il y a deux notions, qui sont identiques dans le cadre des e.v.n., mais qui deviennent distinctes dans le cadre métrique :
    - ce que moi j'appelle l'équivalence topologique : les deux distances (ou normes) définissent les mêmes notions d'ouverts (ou de fermés)
    - l'équivalence des distances (ou des normes) : le quotient entre les deux distances est coincé entre deux nombres strictement positifs.
    On voit aisément que la seconde notion implique la première car une inégalité entre normes (ou distance) permet d'avoir une inclusion entre des boules de même centre pour les distances différentes. C'est un exercice intéressant de remarquer que dans le cas de normes sur un e.v. cette relation est en fait une équivalence, ce qui permet d'obtenir l'équivalence des notions dans le cas des normes.
    La première notion ne conserve pas les suites de Cauchy, et donc la complétude, comme le montre l'exemple de raoul.S. En revanche, la seconde conserve la notion de suites de Cauchy, et comme elle conserve également la notion de convergence (car elle implique l'équivalence topologique), celle-ci conserve la complétude.
  • rakam
    Modifié (June 2022)
    Je vois plutôt 3 notions
    1. distances topologiquement équivalentes. L'application identité est continue dans les deux sens
    2. distances uniformément équivalentes. L'identité (dans les deux sens) est  uniformément continue
    2. distances équivalentes (même notion que pour les normes). L'identité, dans les deux sens, vérifie une condition de Lipschitz.
  • Sauf erreur, on ne voit que 1 et 3 dans les evn, n'est-ce pas ? 
    Aurais-tu un exemple significatif pour 2 ?
  • Namiswan
    Modifié (June 2022)
    Dans les evn toutes ces notions sont équivalentes (si on ne considère que des normes).
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