Déterminant et inverse

tatof
Modifié (June 2022) dans Algèbre
Bonjour
Soient $I_n$ la matrice identité de dimension $n$, $\bold{x}=(x_1,...,x_n)^T$ avec $x_i \in \mathbb{C}$ et $\alpha \in \mathbb{R}^{\ast}$.
Je cherche à calculer $\det(\alpha I_n+\bold{x}\bold{x}^H)$ et $(\alpha I_n+\bold{x}\bold{x}^H)^{-1}$. Connaissez-vous des expressions explicites à ces expressions ?
Merci.

Réponses

  • Bonjour,
     Oui  $\alpha^n +\alpha ^{n-1} || x  ||_2^2 $
     
  • tatof
    Modifié (June 2022)
    Comment trouvez-vous le résultat? En cherchant sur le net j'ai trouvé qu'avec $\alpha \in \mathbb{R}^{\ast}$:
    $\det(\alpha I_n+\bold{x}\bold{x}^H)=\alpha^n \det(I+\frac{1}{\alpha}\bold{x}\bold{x}^H)=\alpha^n \exp(\mathrm{tr}(\log(I_n+\frac{1}{\alpha}\bold{x}\bold{x}^H)))$
    Par contre je n'ai rien trouvé pour $(\alpha I_n+\bold{x}\bold{x}^H)^{-1}$.
  • bd2017
    Modifié (June 2022)
    Le résultat sur le net est bidon à moins que tu définisses le log de la matrice...   
    Le résultat est assez immédiat car la matrice $XX^t$ est de rang 1 (si $X\neq 0$) donc  $0$ est valeur propre d'ordre $n-1$  donc grâce à son polynôme caractéristique,  le déterminant cherché est   $\alpha^{n-1}(\alpha  +  a) $   où $a$ est  la trace (i.e $a=XX^t=||X||^2$
    Ce qui m'inquiète c'est que tu demandes quel est le déterminant de la matrice inverse.
     
  • tatof
    Modifié (June 2022)
    Mon autre question est de calculer l'inverse de la matrice c'est-à-dire de calculer $(\alpha I_n+\bold{x}\bold{x}^H)^{-1}$.
  • JLapin
    Modifié (June 2022)
    Cherche une matrice de la forme $a I_n + b xx^H$.
    Je suppose que $x^H$ désigne la colonne transposée de la ligne $x$. Je ne connaissais pas cette notation.
  • $$x^H=(\overline{x})^T.$$
  • Math Coss
    Modifié (June 2022)
    Pourquoi pas $x^*$ ?
    Pour revenir à la question de l'inverse, j'écrirais volontiers l'application linéaire sous-jacente (produit par la matrice à l'étude) dans une base orthogonale dans laquelle $x$ est le premier vecteur (ou le dernier).
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