Paradoxe d'Achille et de la tortue

gcplatine
gcplatine
Modifié (May 2022) dans Fondements et Logique
Bonjour, j'ai découvert il y a quelques semaines de cela le célèbre paradoxe d'Achille et de la tortue. J'ai tout de suite été frappé par sa richesse mais en creusant un peu, j'avoue avoir été surpris de lire, sur la page Wikipedia dédiée, que le paradoxe était "totalement résolu par les mathématiques contemporaines" et par la convergence des séries géométriques.

En effet, il me semble que le raisonnement de Zénon est à peu près le suivant:

- si Achille est "une infinité" de fois derrière la tortue (ce qu'on peut montrer par récurrence) 
- et si on considère qu’Achille parvient à dépasser la Tortue
=> alors on affirme qu’un nombre infini d’étape comporte une « dernière étape », que l’infini a … une « fin », une « limite »
Or l’infini est précisément ce qui n’a pas de limite.
Donc, par l’absurde, Achille ne peut pas dépasser la tortue.

L’argument quantitatif consistant à dire que la somme d’une infinité de distance ou de temps peut valoir une quantité finie ne me parait pas donc pas contredire une des prémisses du raisonnement de Zénon. C'est pourquoi je n'ai pas compris qu'on dise ce paradoxe "totalement résolu".

Ai-je mal compris l'argument des "mathématiques contemporaines" ou le concept d'infini ?
Ou bien cet argument mathématique est-il hors de propos pour "résoudre" ce paradoxe ? Dans ce cas, connaît d'autres "solutions" mathématiques permettant de "penser" le mouvement dans un espace continu ?

Je m'excuse par avance pour mon vocabulaire peut-être un peu approximatif sur certaines notions.
Un grand merci pour votre lecture et peut-être votre réponse !

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Réponses

  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    Modifié (May 2022)
    Bonjour, 

    Je reviens sur le point "Or l’infini est précisément ce qui n’a pas de limite" qui est faux, par exemple l'ordinal $\omega + 1$ qui correspond (en gros) à $\mathbb N$ auquel on ajoute un élément plus grand que tous les entiers. Il y aurait beaucoup à dire sur le sujet ...

    On peut d'ailleurs adapter ce cas au paradoxe de Zénon : une infinité de moments (à définir) avant qu'il ne soit au même niveau, puis un où ils sont au même niveau, puis le suivant où Achille est devant.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Soc
    Soc
    Modifié (May 2022)
    Le mot "infini" manque de sens, ou bien en a trop au choix.
    "on affirme qu’un nombre infini d’étape comporte une « dernière étape »" n'a pas de signification claire.
    "Or l’infini est précisément ce qui n’a pas de limite. " Qu'appelle-t-on infini et limite ici?

    Tu peux concevoir ce "paradoxe" autrement: tu te déplaces sur le segment fermé [AB] et tu vas de A vers B en atteignant B. Tu fais maintenant le même déplacement sur le segment [AB[ et tu n'atteindras jamais B.
    Mais si tu veux être plus rigoureux, il faut représenter ton déplacement par une fonction continue par exemple qui donne ta position en fonction du temps. Dans le premier cas disons que ta fonction est définie sur [0,T] alors dans le deuxième cas tu dois "tricher" et la définir sur [0:T[. Si tu laisses T dans ton ensemble de définition tu atteindras obligatoirement B.
    C'est l'absence de notion de continuité qui nourrissait ces paradoxes (il y a un équivalent avec une flèche qui n'atteint jamais sa cible).
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • gcplatine
    gcplatine
    Modifié (May 2022)
    Soc a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2359698/#Comment_2359698
    [Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
    De ce que j'ai compris, le paradoxe ne se nourrit pas de "l'absence de la notion de continuité" mais cherche plutôt à réfuter cette notion (pas sa cohérence mathématique pure mais en tout cas son application à l'espace) en montrant qu'elle ne permet pas de "penser" le mouvement.
    Peut-être n'ai-je pas bien compris ce que tu voulais dire.
  • lourrran
    lourrran
    Je n'ai rien compris à la question.
    Heureusement que Wikipedia décrit tout ça clairement.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • Dom
    Dom
    Modifié (May 2022)
    Franchement c’est un « paradoxe » bidon. 
    L’argumentaire proposé dans wiki nous montre bien que ça ne tient pas debout. 
    À la limite, le fait qu’une suite strictement croissante puisse converger (ou puisse être bornée, déjà…) pourrait s’appeler aussi « paradoxe ». 
  • Foys
    Foys
    Modifié (May 2022)
    Soit $T$ l'instant où Achille atteint la tortue (dans une modélisation physique raisonnable où ils se déplacent à vitesse constante). Pour tout $n$ soit $t_n$ l'instant de la $n$-ième étape de l'expérience de pensée. Alors par récurrence sur $n$ on montre que $t_n<T$ (parce qu'en fait $\sum_{k=1}^n \frac 1 {2^k} = 1-\frac{1}{2^n} < 1$).
    Bilan : tous les événements décrits par cette histoire se produisent à $t_n$ où $n$ est un entier et comme $t_n<T$ pour tout $n$, il n'y a aucun instant où Achille rencontre la tortue dans l'expérience.
    Le "paradoxe" de Zenon n'est pas un paradoxe mais une lapalissade et sa résolution ne requiert nullement le recours au concept de limite mais uniquement à un calcul de somme géométrique finie insérée dans une inégalité (que les Grecs ne connaissaient pas à l'époque où l'histoire a été inventée certes, mais les contemporains qui se noient dans ce verre d'eau sont impardonnables).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    Modifié (May 2022)
    J'ajoute un point au post précédent (en fait je répète ce que j'ai écrit dans mon premier message) : 
    1) $t_n < T$ et comme $n\in \omega$ il y a une infinité de $t_n$
    2) $t_\omega = T$ ($\omega$ est le dernier élément de $\omega + 1$)

    L'idée que l'infini n'a pas de 'limite" (pas de dernier élément, pas d'élément après ...) est une vieille idée qui convient pour l'infini potentiel, mais il suffit de parler d'infini actuel, pour que cette idée vole en éclat.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Soc
    Soc
    Modifié (May 2022)
    @Foys: Quand on parle de se "déplacer à vitesse constante", c'est bien que l'on a une perception continue du temps, ce qui est le noeud de ce "paradoxe".
    @gcplatine: La présentation de ce paradoxe se base sur l'idée qu'une suite strictement croissante ne peut pas atteindre sa limite, ce qui est vrai. Mais par cet artifice elle t'entraine à ne considérer dans l'écoulement du temps que les instants qu'elle a choisi, ce qui ne correspond pas à l'écoulement continu du temps. Après si le but est d'utiliser ce paradoxe pour contredire la continuité, alors cela ne fonctionne pas puisqu'il est contredit par notre perception du réel.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Foys
    Foys
    @Soc on pourrait exactement raconter la même histoire avec un temps à valeurs dans $\Q$. Tout événement décrit dans l'histoire se produit strictement avant la rencontre d'où l'énoncé "à aucun moment dans l'histoire, Achille ne rencontre la tortue" est conséquence de "tous les moments de l'histoire ont lieu strictement avant la date de la première rencontre".
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Soc
    Soc
    Dans Q tu pourrais trouver une suite dont la limite n'appartienne pas à Q et tu aurais ton paradoxe.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Foys
    Foys
    Modifié (May 2022)
    Même pas (c'est pour cela que j'ai pensé à $\Q$: on peut imaginer des scénarios où au départ, Achille et la tortue sont tous les deux à l'arrêt, séparés de deux mètres,  Achille accélère de $4m.s^{-2}$ et la tortue accélère de $2m.s^{-2}$. Trouver une suite de rationnels croissante $(t_n)_{n\in \N}$ tendant vers $\sqrt 2$ et dont l'expression est la plus simple possible afin de provoquer un scandale ... ou pas, Achille ne rencontrant jamais la tortue sous les hypothèses d'un temps rationnel :D ).
    Les paradoxes sont des situations où on prouve un énoncé faux comme 0=1 mais ici, ce n'est pas le cas.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • zeitnot
    zeitnot
    Modifié (May 2022)
    "Les paradoxes sont des situations où on prouve un énoncé faux"
    Absolument pas, "paradoxe des singes savants", "paradoxe des anniversaires", etc.
    "Un paradoxe, d'après l'étymologie (du grec paradoxos, « παράδοξος » : « contraire à l'opinion commune », de para : « contre », et doxa : « opinion »), est une idée ou une proposition à première vue surprenante ou choquante, c'est-à-dire allant contre le sens commun."
    Aucun rapport avec une quelconque histoire d'énoncé faux.
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • Soc
    Soc
    Modifié (May 2022)
    Je comprends pourquoi on ne se comprend pas. Tu choisis un modèle théorique et tu l'appliques sans contradiction. Je compare le modèle proposé par le "paradoxe" et je le confronte au concret (ie la flèche atteint son but et Achille rattrape la tortue).
    Dès que l'on décide d'appliquer les mathématiques au concret se pose la question de la légitimité du modèle, et c'est là que certains esprits rechignent à voir le temps s'écouler de façon uniforme et continue, ce qui ne me choque pas du tout.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Foys
    Foys
    Modifié (May 2022)
    zeitnot a dit :
    "Un paradoxe, d'après l'étymologie (du grec paradoxos, « παράδοξος » : « contraire à l'opinion commune », de para : « contre », et doxa : « opinion »), est une idée ou une proposition à première vue surprenante ou choquante, c'est-à-dire allant contre le sens commun."
    Aucun rapport avec une quelconque histoire d'énoncé faux.
    Le problème est que le sens de "sens commun" n'est pas clair dans cette phrase (de plus cette chose évolue avec les connaissances accessibles).
    L’irrationalité de $\sqrt 2$ est-elle paradoxale ? À une époque ancienne elle a pu l'être mais le malentendu est largement dissipé depuis.

    Des énoncés étranges sont vus comme des paradoxes quand on pense en déduire une contradiction (alors qu'au pire il n'y a contradiction qu'avec un préjugé, par exemple celui qui voudrait que la probabilité d'avoir une même date d'anniversaire dans une classe de 23 élèves soit "petite" sous le prétexte fallacieux que 23 est "petit" devant 365).

    Tout ce que je voulais dire est qu'ici on est devant l'examen d'un énoncé qui s'écrit formellement $\left (\forall n\in \N,\ \neg \exists s,\ s<t(n) \wedge  R(s) \right ) \wedge \exists x R(x) $ et qu'on prétend que la croyance que ceci engendre une contradiction serait due à une mauvaise compréhension de ce qu'est une vitesse ou bien une méconnaissance des limites mathématiques alors qu'avant tout il n'y a aucune preuve que LA FONCTION $t$ EST SURJECTIVE, D'ailleurs elle ne l'est pas ! (édité : non en toute rigueur c'est plutôt le fait qu'il faudrait prouver que le temps de rencontre est inférieur à $t(n)$ pour au moins un $n$. À nouveau, ça n'est pas une question de limites ou de vitesse.  Les connaissances en algèbre et en particulier les identités remarquables servant à l'étude des suites géométriques étaient inconnues à l'époque).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Dom
    Dom
    Modifié (May 2022)
    Ha oui. 
    Paradoxe ne serait donc pas un terme mathématique car faisant appel à l’émotion.
  • zeitnot
    zeitnot
    Je suis complétement d'accord pour dire que paradoxe n'est pas un terme mathématique. Il faudrait demander un Philippe Vandel. (Référence vintage que seuls les plus de 40 ans peuvent comprendre.)
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    Modifié (May 2022)
    Clairement le "paradoxe" de Banach-Tarski est un théorème de ZFC (qui ne heurte que l'intuition).
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • gcplatine
    gcplatine
    Modifié (May 2022)
    Merci à tous pour vos réponses. 
    Etant encore au lycée :) , je n'ai pas peut-être pas encore parfaitement saisi toute la technicité de certaines explications.
    Cependant, après avoir pas mal cogité, il me semble que vos réponses portent plus sur la cohérence mathématique de la continuité.

    J'ai bien compris qu'Achille finira par rattraper la tortue ( remarquons qu'il ne faut pas être un génie pour le deviner ...).
    J'ai bien compris que la série géométrique dont le terme général est la distance séparant Achille de la tortue à l'étape n converge vers d.( vt/ va) si l'on nomme d la distance initial séparant Achille de la tortue et vt et va les vitesses respectives d'Achille et de la tortue et en supposant que va>vt. J'ai bien compris qu'on pouvait résoudre simplement ce paradoxe en résolvant une équation faisant intervenir les équations horaires de position d'Achille et de la tortue. 

    Mais, en réalité, mon message initial ( qui est aussi je crois celui de Zénon ) est que nous ne sommes pas capable de "penser" de façon cohérente le mouvement dans un espace et un temps "continus" ( je ne parviens toujours pas à concevoir qu'Achille puisse dépasser la tortue étant donné les hypothèses de Zénon, mais peut-être est-ce seulement moi ? :cry: ).
    Finalement, la solution que je recherche n'est, je crois, pas purement mathématique.
    Je recherche plutôt le lien qui pourrait unir notre incapacité à "penser" un espace et un temps continus et la théorie mathématiques de la continuité elle-même.
    Notre incapacité à "penser" une théorie peut-elle révéler une faille dans une théorie pourtant jusque là très cohérente ?

    Ou bien notre incapacité à penser la théorie est elle révélatrice d'une faille dans notre intellect, révélatrice de biais cognitifs ?
    ( après peut-être certains arrivent ils à contredire intuitivement l'expérience de pensée de Zénon sans passer par une analyse mathématiques ? en tout cas ce n'est pas mon cas :sweat_smile:) 

    Si oui à la deuxième question : 
    - quels sont ces biais ?
    J'ai par exemple pensé au fait qu'on n'arrive pas à penser qu'on puisse réaliser un nombre infini d'actions ( parcourir une infinité de points ici)  en un temps fini. Mais peut-être n'arrive-t-on pas à le penser parce que cela est physiquement non plausible ( sauf si quelqu'un arrive à me prouver le contraire) bien que mathématiquement cohérent.

    Mes questions s'éloignent sûrement un peu des mathématiques !
    Peut être suis-je le seul à ne pas intuiter la solution si évidente de ce casse tête ? ( oui je sais qu'intuiter est un beau néologisme mais je ne trouvais pas d'équivalent dans notre belle langue ).
    Le problème que je pose est un peu celui de tous paradoxes mais ici la contradiction avec notre intuition touche un domaine plus fondamental, il me semble, que celui des probabilités dans le paradoxe des anniversaires par exemple. ( seulement un avis personnel )
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Le verbe "intuiter" existe et il est parfaitement légitime de l'utiliser.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    Une autre façon de présenter ce "paradoxe" consiste à dire que l'énoncé de Zénon ne fait qu'affirmer qu'à tous les instants (repères dans le temps, continue ou pas) qui se situe avant qu'Achille rattrape la tortue, et bien Achille n'a pas rattrapé la tortue.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (May 2022)
    Gcplatine : 
    "Mais, en réalité, mon message initial ( qui est aussi je crois celui de Zénon ) est que nous ne sommes pas capable de "penser" de façon cohérente le mouvement dans un espace et un temps "continus" "
    Oh si, on y arrive bien, sauf si on "pense de travers", par exemple qu'on n'accepte pas la divisibilité à l'infini qu'implique la continuité. C'est maladif. L'idée de continuité est partout présente à notre époque.
    "( je ne parviens toujours pas à concevoir qu'Achille puisse dépasser la tortue étant donné les hypothèses de Zénon, mais peut-être est seulement moi ? cry )." Pourtant tu sais bien qu'il y arrivera, donc regarde ce qui t'a été dit (Foys, puis maintenant Médiat_suprème) sur le raisonnement de Zénon. Lis vraiment les réponses !!

    Enfin, tout ça c'est seulement des blagues de philosophes grecs (*), en 2500 ans on a un peu avancé.
    Cordialement.
    (*) tu butes dessus parce qu'on te l'a présenté comme un paradoxe, pas comme une fantaisie.
  • GG
    GG
    Le verbe "intuiter" existe et il est parfaitement légitime de l'utiliser.

    Rescassol, en es-tu sûr ?
    Il ne figure ni dans mon "Petit Larousse", ni dans mon "Petit Robert", ni dans le dictionnaire de l'Académie française en ligne sur Internet. Mais mon problème, c'est peut-être que je suis "vieux jeu" et ne fréquente aucun réseau social du genre Facebook ou Twitter ! :)
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Je ne fréquente aucun réseau social non plus.
    Ce mot est là, entre autres : https://fr.wiktionary.org/wiki/intuiter
    Mais je n'ai pas cherché partout, je l'avoue.

    Cordialement,
    Rescassol

  • GG
    GG
    Oui, j'avais vu. Ca m'a même fait sourire quand j'ai lu que pour l'étymologie, le siècle restait à préciser ! :)
  • Math Coss
    Math Coss
    Je me permets de glisser que le wiktionnaire est plus ouvert à la nouveauté que les dictionnaires classiques.
  • Jean--Louis
    Jean--Louis
    Modifié (May 2022)
    Bonjour, je crois que dans ce paradoxe d'Achille et la tortue il y a un malentendu entre matheux et philosophes. Pour le matheux, hop somme de série, ça converge, donc etc... Pour le philosophe (je pourrais même dire pour les physiciens, ils supposent que l'on peut diviser temps et matière à l'infini ce qui est certainement faux. Enfin, je m'avance peut-être...
    Bonne soirée.
    Jean-Louis.
    P.S. Et le commun des mortels de dire: "paradoxe, où est le paradoxe, je peux faire l'expérience avec ma tortue et je  la rattrape sans problème."
  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    Modifié (May 2022)
    Il n'y a besoin ni de convergence de série, ni même de mathématiques ici, juste un peu de bon-sens.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Jean--Louis
    Jean--Louis
    Modifié (May 2022)
    Et pourtant, on a écrit bon nombre de bouquins sur ces paradoxes, genre Achille et la tortue, le menteur, le barbier, les paradoxes sorites, et celui que je préfère car j'ai vu des tonnes de papier écrits dessus c'est l'interro surprise !!!
    Bonne fin de journée.
    Jean-Louis.
  • Dom
    Dom
    Bertrand m’avait interloqué, mais j’étais très inculte sur « les probabilités ». 
    Simpson, est encore intrigant pour l’esprit, de mon point de vue. 
  • math2
    math2
    Modifié (May 2022)
    Simpson, pour le souvenir que j'en ai, c'est tout simplement de travailler sur données agrégées en ayant supprimé ce que l'on appelle des variables explicatives en économétrie. Du coup, pour moi il n'est pas étonnant du tout : si l'on supprime des variables d'intérêt, on déduit n'importe quoi. Cela relativise encore plus ce que l'on peut tirer de données, car on n'est jamais certain d'avoir toutes les variables explicatives.

    EDIT : j'ai confondu Bertrand avec Benford (shame on me!). Du coup, j'ai supprimé la première phrase de mon texte, qui devient sans intérêt, et qui de toutes façons n'a pas eu de remarque dans ce qui suit dans le fil.
  • Dom
    Dom
    Modifié (May 2022)
    Oui c’est vrai. 
    Je pensais à l’exemple simple proposé par wiki. 


  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    @Jean-Louis Je  ne dis pas que les paradoxes n'existent pas ou peuvent tous se résoudre avec un peu de bon sens (je compte Zénon et le barbier parmi ceux-là).

    Par exemple, ici, Zénon décide de diviser le temps entre deux instants (le départ et celui où Achille rattrape la tortue) en une infinité de "balises", sans se soucier de la signification ou de la faisabilité "réelle" (c'est juste un exercice de pensée) puis il affirme que, comme il y en a une infinité, on ne peut atteindre le "dernier", je ne vois aucun paradoxe, juste quelques affirmations sans argument.

    On peut faire cela avec tout (pas seulement le temps) : si on découpe (par la pensée) l'espace entre le trait 1cm et l'endroit où doit être le trait 2cm d'une règle en une infinité de segments, on ne peut jamais tracer le trait  2cm, car il faut passer par une infinité de segments, donc on n'atteint jamais le "dernier".

    Et on peut en inventer autant que l'on veut : on découpe (par la pensée) un truc en une infinité de machins, le truc de départ ne peut pas exister puisque le "dernier" machin n'existe pas (puisqu'il y en a une infinité).
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • math2
    math2
    Modifié (May 2022)
    @ Dom : lorsque j'étais étudiant, on m'avait présenté un exemple plus politique / polémique, sur données réelles.
    La question était de savoir si les juges américains (dans un état, je crois celui de Floride mais je n'en suis plus certain) étaient racistes ou non.
    La variable observée était la couleur de peau du coupable convaincu de meurtre. Les données démontraient que l'homme caucasien avait une probabilité significativement plus élevée d'être condamné à mort qu'un homme "de couleur". On en déduisait alors soit que les juges n'étaient pas racistes, soit qu'ils l'étaient vis à vis des blancs, mais le modèle interdisait cette hypothèse.
    Si en revanche on regardait les données couplées couleur de peau du meurtrier / couleur de peau de la victime, il apparaissait que ce qui était décisif pour les juges, c'était la couleur de peau de la victime plus que celle du meurtrier. Et comme un certain nombre de meurtres étaient commis de manière intra-communautaire, il apparaissait à ce stade que l'hypothèse de racisme des juges vis à vis des hommes de couleur pouvait être largement retenue, à leurs yeux la vie d'une victime de couleur valant visiblement moins.
    J'ai malheureusement jeté mon cours de statistique descriptive suivi il y a un temps certain, sinon j'aurais pu être plus explicite que ma mémoire. 
  • Dom
    Dom
    Exemple sensible !
    Merci de ce témoignage.  
  • lourrran
    lourrran
    Encore aux US (quand on peut faire des statistiques basées sur l'ethnie, ça donne plein de choses...)
    Entre 2005 et 2015 (de mémoire ...), l'espérance de vie a baissé aux US. Le 'journaliste' qui relatait ça attribuait cela à la malbouffe. Pourtant, dans son article, il donnait 2 autres résultats qui auraient dû l'alerter : l'espérance de vie des blancs a augmenté sur cette période, et l'espérance de vie des non-blancs a aussi augmenté.
    Paradoxal, ou pas. Mais je crois que j'en avais déjà parlé sur ce forum.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • Jean--Louis
    Jean--Louis
    Médiat Suprême, je suis globalement d'accord avec toi. Mais ce qui me parait bizarre, c'est le nombre de livres et publications diverses que le sujet "paradoxes" entraîne... Et je te garantis que rien que sur le "paradoxe" de l'interro surprise, beaucoup ont beaucoup écrit et parfois des choses très bizarres pour le commun des matheux.
    Bonne journée.
    Jean-Louis.
  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    Moins que sur les Kardashians, et la raison m'échappe toujours :smiley:
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • GG
    GG
    Modifié (May 2022)
    Peut-être le paradoxe aurait-il été plus parlant si on avait demandé à Zénon, placé devant deux jarres, l'une contenant deux litres d'eau et l'autre vide, de transvaser intégralement l'eau de la première dans la seconde à l'aide d'un pot rempli seulement de la moitié du contenu de la première jarre à chaque opération.
    Impossible pour Zénon qui n'était pas un dieu, mais facile pour un matheux qui décrète que $\Sigma$ $ 2^{-n} = 2$ ! :)
  • lourrran
    lourrran
    On ne parle que des trains qui arrivent en retard.
    Et en généralisant cette idée :
    - On parle plus volontiers des Kardashian que de la famille Martin
    - On parle plus volontiers de tel paradoxe (souvent futile) que de vraies maths 
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • Foys
    Foys
    Modifié (May 2022)
    lourrran a dit :
    - On parle plus volontiers de tel paradoxe (souvent futile) que de vraies maths 
    L'affrontement de paradoxes (et non leur évitement) est à l'origine de vraies maths sophistiquées. La logique du XXème siècle a largement été motivée par la crise des fondements (comment appréhender $\{x \mid x\notin x\}$).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    Modifié (May 2022)
    Oui, absolument, mais l'aspect mathématique est perdu dans bien des cas quand les "paradoxes" au sens mathématique sont déguisés sous la forme de paradoxes en langage naturel, juste un exemple "Esope dit : "je mens"", il faut 3mn à un élève de primaire pour démonter cette phrase alors qu'en L3 / M1, la démonstration de l'incomplétude de l'arithmétique ne se comprend pas immédiatement.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Jean--Louis
    Jean--Louis
    Modifié (May 2022)
    Oui, mais pourquoi vouloir absolument résoudre un paradoxe "philosophique" par des méthodes mathématiques. Je suis sûr qu'on peut résoudre "Achille et la tortue" par des moyens non mathématiques. Quant à l'interro surprise, je crois que les maths n'ont rien à y voir. Par contre la question c'est "y a-t-il un paradoxe ou non ?" dans la mesure où il suffit de dire le prof fait l'interro le mercredi et les élèves ne pouvaient s'y attendre, y a-t-il vraiment un paradoxe ?
    Amicalement.
    Jean-Louis.
  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    Jean--Louis a dit :
    Oui, mais pourquoi vouloir absolument résoudre un paradoxe "philosophique" par des méthodes mathématiques. 
    Ce sont deux questions différentes, les questions philosophiques (resp. mathématiques) doivent recevoir une réponse philosophique (resp. mathématique), le mélange des deux ne peut apporter que de la confusion.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • troisqua
    troisqua
    Modifié (May 2022)
    Selon moi, ce que Zénon fait, c'est de décider de décrire un mouvement en une infinité d'étapes et de laisser croire que tant que l'on n'aura pas énoncé ces étapes entièrement, le mouvement total à décrire ne se sera pas produit.
    Comme si le mouvement lui-même (fini en temps), était assujetti à sa description (choisie volontairement pour prendre une infinité de temps). Mais le mouvement n'attend pas d'être décrit pour se produire.
  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    C'est exactement ce que je disais dans un message précédent, donc je suis d'accord :wink:
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • troisqua
    troisqua
    C'est le déroulement du mouvement (temps fini) qui serait assujetti au déroulement d'une description volontairement infinie du mouvement, que je n'avais pas perçu dans ton message :smile:
  • Ludwig
    Ludwig
    Bonjour,
    Pour ce qu'à fait Zénon il faut aussi je crois parler de la divisibilité (ou pas) de l'espace et du temps.
    Voir par exemple Bergson et Zénon d'Élée, Alain Barreau, 1969
    C’est au fond du puits
    Que le ciel respire
    (Paul Valet)
  • troisqua
    troisqua
    Modifié (May 2022)
    Bonsoir Ludwig
    J'ai parcouru les textes que tu mentionnes et quelque chose m'échappe. On fait comme si le raisonnement de Zénon était lié à la Physique ou même à la métaphysique. Pourtant, selon moi, le "paradoxe" est une illusion qui peut se passer d'espace ou de temps au sens physique du terme.
    Pour illustrer ma pensée : avec le raisonnement de Zénon, la réunion des intervalles $\left[\frac{1}{2^{n}};1\right]$ pour $n$ naturel ne peut être $\left]0;1\right]$ car à tout instant $n$ cette réunion a une longueur strictement inférieure à $1$. C'est exactement le raisonnement de la flèche mais sans y mettre ni de temps ni d'espace physique.
    C'est juste que pour Zénon, on ne peut effectuer de réunion indexée sur les naturels car il semble ne vouloir considérer que des réunions finies (peut-être les seules selon lui à pouvoir être égrainées une à une par la pensée donc les seules concevables ?).
  • Jean--Louis
    Jean--Louis
    Bonjour, Mais quand même, quand incontestablement le raisonnement de Zénon est faux, (et là je ne parle pas de l'aspect mathématique mais simplement de l'expérience que l'on peut faire pour rattraper une tortue...) ne doit-on pas essayer de trouver ce qui cloche dans ce raisonnement? Perso, je n'ai jamais trouvé de faille. Donc je pense que je raisonne mal... C'est pareil pour l'interrro surprise. On aura beau écrire des tas de trucs dessus, si le prof fait l'interro le lundi, elle surprend les élèves et donc leur raisonnement est faux.
     Mais en fait, ce qui me fait me poser des questions sur ces paradoxes, c'est pourquoi tant d'encre a été et continue d'être versée pour les " soi- disant" résoudre!
    Bonne journée.
    Jean-Louis.
  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    Ce qui cloche, c'est que Zénon affirme découper le temps en une infinité de moments, sans justifier la possibilité de ce découpage et affirme que l'on ne peut atteindre le "dernier" instant parce qu'il y en a une infinité, sans définir ce que veut dire passer d'un instant au suivant, ni ce que veut dire dernier ici.

    Par exemple, l'ensemble $\{\omega +1\}$, contient tous les instants (les entiers) et le dernier, sans problème.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
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