Intégrale d'une fonction holomorphe

tgbne · May 2022

Bonjour, je cherche à calculer l'intégrale $\int_{\partial D(0,1)}\frac{dz}{8z^{3}-1}$. J'ai écrit $\int_{\partial D(0,1)}\frac{dz}{8z^{3}-1}=\frac{1}{8}\int_{\partial D(0,1)}\frac{dz}{z^{3}-\frac{1}{8}}$. J'aimerais appliquer la formule de Cauchy mais je ne sais pas à quelle fonction holomorphe exactement.

Les racines de $z^{3}-1/8$ sont $\frac{1}{2},\ -\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{3}}{4}\ $ et $\ -\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4},$ et sont bien dans $D(0,1)$. Je dois définir leurs indices par rapport à un ouvert (c'est-à-dire un disque de centre 0 et de rayon $> 1$) qui contient le chemin du bord de $D(0,1)$ et c'est là que je bloque. Quelqu'un peut-il m'aider ? Merci.

gilles benson · May 2022

bonsoir, il y a une bonne chance que tu trouves zéro car ta fonction est rationnelle (voir Cartan); de toute façon, tu peux décomposer en éléments simples si tu ne vois pas autre chose ; en fait il y a la formule $\int_{\gamma} \frac{f(z)}{g(z)} \mathrm dz = 2i\pi \sum_a residus $ et les résidus sont donnés puisqu'il y a des pôles simples par $residu_a \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{f(a)}{g'(a)}$.

Donc, tu obtiens la décomposition: $ F(z) = \sum_a \frac{res(F)_a}{z-a}$ et puisque $\lim_{z\to \infty} zF(z) = 0$ , tu dois voir ce qui arrive...

gebrane · May 2022

Soient $P$ et $Q$ deux fonctions polynomiales sur $\mathbb{C}$ telles que $\deg(P)+2<\deg(Q)$. On note $\forall z\in\mathbb{C},\ f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$.
Montrer que la somme des résidus de $f$ est nulle..
Pour une preuve, je ne vois pas plus que mon nez

ajout dans le cas de l exercice puisque les pôles sont simples, tout est dit par @gilles benson ( surtout les deux dernières lignes)

gilles benson · May 2022

Bonsoir, l'indice est lié à la forme du lacet d'intégration; dans le cas d'un cercle il vaut 1...

Intégrale d'une fonction holomorphe

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