Conséquences du théorème des noyaux itérés
$\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}$Bonjour,
Soit $E$ un $\mathbb{K}$ espace vectoriel de dimension $(p+1)n$ avec $p\geq 2$. Soit $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^3=0$ et $\rg(f)=p \times n$. Il faut montrer que $\rg(f^2)=n$. Je ne comprends pas en quoi c'est une conséquence du théorème des noyaux itérés.
De la même façon, si on se donne un endomorphisme $u\in \mathcal{L}(E)$ (ici $E$ est de dimension quelconque) tel que $\dim(\ker(u))=1$. Montrer que pour tout $k \leq \dim(E)$, $\dim(\ker(u^k)) = k$. Je ne comprends pas non plus en quoi c'est une conséquence du théorème des noyaux.
En effet, le théorème des noyaux itérés nous dit que pour un endomorphisme $u$ de $E$ de dimension quelconque, la suite $(\dim(\ker(u^{p+1})-\dim(\ker(u^{p})))_{p\in \mathbb{N}}$ est décroissante. Je ne vois pas trop le rapport avec ce théorème. Si quelqu'un veut bien expliciter le lien, svp.
Soit $E$ un $\mathbb{K}$ espace vectoriel de dimension $(p+1)n$ avec $p\geq 2$. Soit $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^3=0$ et $\rg(f)=p \times n$. Il faut montrer que $\rg(f^2)=n$. Je ne comprends pas en quoi c'est une conséquence du théorème des noyaux itérés.
De la même façon, si on se donne un endomorphisme $u\in \mathcal{L}(E)$ (ici $E$ est de dimension quelconque) tel que $\dim(\ker(u))=1$. Montrer que pour tout $k \leq \dim(E)$, $\dim(\ker(u^k)) = k$. Je ne comprends pas non plus en quoi c'est une conséquence du théorème des noyaux.
En effet, le théorème des noyaux itérés nous dit que pour un endomorphisme $u$ de $E$ de dimension quelconque, la suite $(\dim(\ker(u^{p+1})-\dim(\ker(u^{p})))_{p\in \mathbb{N}}$ est décroissante. Je ne vois pas trop le rapport avec ce théorème. Si quelqu'un veut bien expliciter le lien, svp.
Réponses
-
Bonjour.
Pour démontrer ton égalité du paragraphe 2... Pense à majorer ta suite du paragraphe 3 pour ensuite faire une récurrence.
Cordialement. -
Par contre je crois que la conclusion c'est dim(ker u^k)<=k ?
-
Non justement c'est carrément l'égalité et c'est ça qui me pose problème.
-
Je comprends, je connais la preuve avec l'inégalité mais je n'ai jamais vu celle avec l'égalité
-
Il faut rajouter que $u$ est nilpotent, sinon le résultat est faux : toute projection sur un hyperplan est un contre-exemple.
-
Majorer !
-
Avec cette condition, c'est clairement plus clair.
-
Oui pardon, $u$ est nilpotent. Sachant cela, comment obtenir l'égalité au lieu de l'inégalité ?
-
D'abord il faut prouver ce que je t'ai dit précédemment quand u n'est pas nilpotente... Puis avec un raisonnement par l'absurde, je crois que tu arrives au résultat... Si il existe k <= dim E tel que ker (u^k< k) alors vu la croissance des dimensions des ker(u^n)... Que peut-on dire des ker(u^n) pour n>=k ?
-
La première inégalité ne me pose aucun souci.
Par l'absurde, soit $k\leq \dim(E)$ non nul tel que $\dim(\ker(u^k)) < k$. $k$ est en fait strictement inférieur à la dimension de $E$, car $u^{\dim(E)}=0$ ($u$ est nilpotente). Par une sorte de lemme des tiroirs combiné avec la croissance de la dimension des noyaux (je ne parle pas ici des noyaux itérés), $\dim(\ker(u^{k-1})=\dim(\ker(u^k))$. Par récurrence immédiate, pour $p\geq k-1$, la dimension des noyaux d'ordre $p$ vaut la dimension du noyau d'ordre $k-1$. Contradiction car $\dim(\ker(u^{\dim(E)}))=\dim(E)>k$.
La preuve me semble bizarre car elle n'utilise pas le théorème des noyaux itérés. J'ai dû me tromper. -
Je comprends ta démo mais dire : "par une sorte de lemme des tiroirs" me laisse perplexe. Si il existe k tel que dim(ker(u^k))<k, il existe i<k tel que dim(ker(u^i))= dim(ker(u^(i+1)))... Et donc... Après je crois que tu sais le faire.
Désolé, je ne sais pas écrire en Latex... Mais je vais m'y mettre bientôt et écrire avec mon portable n'est pas facile ! 😉
-
Ici, tu ne fais qu'utiliser le lemme des tiroirs, sans justifier donc. Je ne vois pas pourquoi vouloir supprimer la justification.[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
-
Oui, tu as raison... Je crois que je me suis mal exprimé.
-
Pour la première question, en utilisant le théorème du rang et la décroissance de la suite (dim(Ker(u^(p+1)))-dim(Ker(u^(p)))) pour p entier; j'ai encadré dim(Ker(f²)) et j'ai trouvé p<=2.
Sachant que p>=2, j'en déduis p = 2.
De ce fait, dim(Ker(f²)) = 2n (donc p x n) donc rg(f²) = n.
-
As-tu entendu parler du théorème du rang? La suite $\left (\rg(u^n) - \rg(u^{n+1}) \right )_{n\in \N}$ possède une propriété remarquable lorsque $u$ est un endomorphisme nilpotent d'un espace vectoriel de dimension finie.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Bonjour,$u$ est un endomorphisme nilpotent d'un espace de dimension $n$, donc $u^n=0$ ; autrement dit, $\dim(\ker(u^n))=n$.Par hypothèse, $\dim(\ker(u))=1$, donc le premier pas dans la suite des $\dim(\ker(u^p))$ pour $p\in \mathbb N$ est de $1$. Par conséquent d'après le théorème des noyaux itérés rappelé dans le premier message, on fait un certain nombre de pas de 1 dans cette suite puis on stationne.La conclusion ne me semble pas trop dure à tirer.
-
Ok. C'est plus direct comme cela en effet. Mais on n'est pas obligé d'utiliser le lemme des noyaux itérés.
Merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.6K Toutes les catégories
- 64 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.7K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 343 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 804 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres