Équations avec des comatrices

etanche
etanche
Modifié (April 2022) dans Algèbre
Bonjour 
Résoudre les équations dans $M(n,C)$ 
\begin{align*}
Com(A)&=A\\
Com(Com(A))&= A\\
Com(Com(Com(A)))&=A
\end{align*}
Com désigne la comatrice
Merci.

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (April 2022)
    Pour tout $A \in \mathcal M_n(\mathbb C)$, si $n=2$ alors on a : $Com(Com(A))=A$, et si $n \ge 3$ alors on a : $Com(Com(A))=0$.
    Mais ceci ressemble à ce qui a été discuté dans le fil
    qui  à part les considérations interminables sur le cas OShine, comprenait quelques contributions mathématiques...
  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (April 2022)
    Plutôt qu'à la comatrice, je préfèrerais m’intéresser à la matrice complémentaire $\widetilde{A}=(Com(A))^{\mathbf{T}}$, et poser à son sujet les mêmes questions, rang, itération, etc..
    De plus, il me semble que si $A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ et $P\in GL_{n}(\mathbb{K})$, alors : $\widetilde{P^{-1}AP}=P^{-1}\widetilde{A}P$. Ceci semble dire que le complémentaire est intrinsèque et l'on peut définir l'« endomorphisme complémentaire », non ?
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Chaurien a dit :
    Pour tout $A \in \mathcal M_n(\mathbb C)$, si $n=2$ alors on a : $Com(Com(A))=A$, et si $n \ge 3$ alors on a : $Com(Com(A))=0$.
    Même si $A=I_3$ ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • zorg690
    zorg690
    En effet, il semblerait qu'il y ait un problème avec n=3
  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (April 2022)
    Oups, mon affirmation était idiote car la comatrice d'une matrice inversible l'est aussi.
    Soit $A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$.
    Si $n=2$, alors $Com(Com(A))=A$ (à la main).
    Si $n \ge 3 $ et si $A\in GL_{n}(\mathbb{K})$, alors $Com(Com(A))=(\det A)^{n-2}A$.
    Si $n \ge 3 $ et si $A\notin GL_{n}(\mathbb{K})$, alors $Com(Com(A))=0_n$.
    J'espère que c'est bon cette fois.
  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (April 2022)
    C'est marrant, il me semble que la formule $Com(Com(A))=(\det A)^{n-2}A$ est valable pour tout $n \ge 2$ et  toute matrice  $A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$, en se souvenant que $0^0=1$.
  • etanche
    etanche
    Modifié (April 2022)
    Déjà discuté d’après Mojojojo

    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/1418330/matrices-qui-sont-leur-comatrice#latest

    @Chaurien ces équations étaient dans une ancienne feuille d’exos de prépas année 80 

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