Géodésiques en géométrie métrique

igorf
Modifié (April 2022) dans Géométrie
Bonjour à tous !

Soit $(\mathbb R^2, d)$ une structure d'un espace métrique sur le plan telle que les géodésiques soient précisément les segments usuels. Est-il vrai que $(\mathbb R^2, d)$ est isométrique au plan euclidien ?

Réponses

  • gerard0
    Modifié (April 2022)
    Bonjour.
    Que veut dire "isométrique" ici ?
    Par exemple, si je munis le plan $\mathbb R^2$ de la métrique $d((x,y),(x',y')) = 2\delta((x,y),(x',y'))$, où $\delta$ est la distance euclidienne classique, alors $(\mathbb R^2,d)$ n'est pas isométrique à $(\mathbb R^2,\delta)$, alors qu'il s'agit du même plan géométrique.
    Cordialement.
  • igorf
    Modifié (April 2022)
    Bonjour,
    par ``isométrique'' je voulais dire ``isomorphes en tant qu'espaces métriques''. Les espaces métriques de ton exemple sont bien sûr isomorphes.

    Donc ma question est la suivante : existe-t-il nécessairement une bijection $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ telle que $d(f(x),f(y))=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$ ?
  • gerard0
    Modifié (April 2022)
    Bonjour.
    Dans un premier temps, tu peux lire Wikipédia (paragraphe "équivalence d'espaces métriques") pour préciser ta question.
  • Bonjour, 
    Il me semble que la question est suffisamment précise ; elle l'était depuis le début et a même été reprécisée. Si tu avais lu le lien que tu donnes Gérard, tu aurais su ce que veut dire "isométrique"!

    Malheureusement, je n'ai pas de temps pour y réfléchir pour l'instant. 
  • Merci pour vos réponses. Bien que la définition d'isométrie soit généralement acceptée, je ferais mieux de la préciser dès le début !
    Quoi qu'il en soit, j'espère que la question est claire maintenant.
  • Je n'ai pas tout vérifié mais il semble que pour $p\in ]1,+\infty[\setminus \{2\}$, l'espace $\R^2$ muni de la norme $\ell^p$ n'est pas isométrique à un espace Euclidien (car ne vérifie pas l'identité du parallélogramme) tandis que ses géodésiques sont les segments usuels.
  • Le modèle de Bletrami-Klein donne une métrique hyperbolique sur le disque ouvert avec les segments de droite pour géodésiques. En poussant cette métrique sur le plan tout entier via une bijection qui préserve les segments, on trouve deux métriques non isométriques sur le plan ayant les mêmes géodésiques (à reparamétrage près). 
  • @Seirios, est-ce qu'une telle bijection existe bien ? Je ne vois pas comment envoyer les segments non radiaux sur des segments. 
  • Ludwig
    Modifié (April 2022)
    Et en pratique je ne vois pas comment "pousser cette métrique" sur le plan tout entier, car celle-ci est définie en utilisant deux points idéaux. Si pousser la métrique consiste à prendre un disque de plus en plus grand alors la distance entre deux points va tendre vers zéro non ? (et à la limite sera nulle quels que soient les deux points de départ, donc ne sera plus une distance..)

    À propos du modèle de Beltrami-Klein, une figure GGB intéressante.
  • J'ai effectivement parlé un peu vite, la construction que j'avais en tête ne marche pas vraiment...
  • Et si on prend les points d'intersection $P$ et $Q$ de la droite $(AB)$ avec le cercle de centre $O$ et de rayon $1+\max(OA,OB)$ et la distance définie par le logarithme du birapport $(A,B,P,Q)$ ? $$d(A,B)= \ln(\frac{AQ \times BP}{AP \times BQ})$$

  • igorf
    Modifié (April 2022)
    Merci ! J'aime l'exemple avec $\ell^p$. J'ai trouvé un exemple riemannien très simple : projetons la demi-sphère $x^2+y^2+(z-1)^2=1$, $z<1$ sur le plan $xy$ à partir du centre de la sphère, les géodésiques iront aux géodésiques. Je crois qu'on peut obtenir une métrique de courbure constante négative de la même manière en changeant la sphère avec un hyperboloïde.
    Au contraire, un court calcul local révèle que toutes métriques riemanniennes avec cette propriété ont une courbure constante.
  • igorf
    Modifié (April 2022)
    igorf a dit :
    Je crois qu'on peut obtenir une métrique de courbure constante négative de la même manière en changeant la sphère avec un hyperboloïde.
    Non, c'est évidemment impossible si on veut une métrique sur tout le plan. Prenons un point $P$ du plan et une droite $\ell$ qui ne passe pas par $P$. Il n'existe qu'une droite qui passe par $P$ et ne coupe pas $\ell$ ; mais cette propriété n'est pas valable pour les géodésiques du plan hyperbolique au lieu des droites.
    Ludwig, je n'ai pas bien compris ton exemple, mais l'argument précédent montre que ça ne peut pas marcher...
    Merci à tous une fois de plus !
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