Linéarité de l'espérance (cas infini)

dedekind93
dedekind93
Modifié (April 2022) dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour à tous.
J'ai vu plusieurs fois passer l'exercice suivant, et une justification d'interversion me pose problème avec les outils niveau CPGE.
Soit $X_1,..,X_n$ des variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}^*$, indépendantes et de même loi, et soit $Y=\text{card}\{X_1,...,X_n\}$. 
En notant alors pour tout $k\in\mathbb{N}^*$ l'événement $\displaystyle A_k=\bigcup_{i=1}^n\{X_i=k\}$, on a $Y=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\mathbb{1}_{A_k}$, de sorte que $\mathbb{E}(Y)=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\mathbb{E}\left(\mathbb{1}_{A_k}\right)$.
La dernière égalité relève je pense d'un théorème de convergence monotone en probabilités, mais peut-être voyez-vous un argument niveau CPGE (toutes filières) qui m'échappe ?
Merci de votre aide.

Réponses

  • noobey
    noobey
    Hello ! Peut être une histoire de familles sommables et doubles sommes...
  • bisam
    bisam
    Modifié (April 2022)
    Désormais, dans le nouveau programme, les familles sommables sont dans tous les programmes :
    - en première année, en MPSI ou MPII pour les futurs MP ou MPI,
    - en deuxième année, en admettant la totalité des résultats en vu de faire des calculs de probas, pour les PSI, PC et PT.
    Ici, on applique simplement une conséquence de la sommation par paquets. En particulier, le fait que l'on somme des positifs et que $Y$ soit bornée justifie toutes les convergences.
    PS. Une petite coquille dans ton message, @dedekind93 : dans la définition de $A_k$, l'union se fait de $1$ à $n$ et non de $1$ à $k$.
  • dedekind93
    dedekind93
    Merci bisam. Coquille corrigée. Peux-tu s'il te plaît détailler davantage qui est la famille sommable en question, qui sont les paquets, s'il faut revenir à la définition de l'espérance... J'avoue ne pas du tout voir ce que pourrait être une telle justification. Merci.
  • bisam
    bisam
    Modifié (April 2022)
    Ne t'inquiète pas : les élèves non plus n'ont pas à le savoir !
    Le programme dit :
    En pratique, dans le cas positif, les étudiants peuvent découper, calculer et majorer leurs sommes directement, la finitude de la somme valant preuve de sommabilité.
    Malgré tout, tu as raison, je ne vois pas comment le justifier directement avec les familles sommables.
    Je pense néanmoins avoir réussi à m'en sortir en restant dans le cadre du programme en introduisant $\displaystyle Y_N=\sum_{k=1}^N\mathbb{1}_{A_k}$ pour tout $N\in\N$.
    Alors $Y-Y_N$ est à valeurs dans $\{0,\dots,n\}$, et \[ (Y-Y_N\geq 1) \subset \bigcup_{k\geq N+1} A_k = \bigcup_{i=1}^n (X_i\geq N+1)\] donc \[\begin{align}0\leq \mathbb{E}(Y-Y_N)&=\mathbb{E}((Y-Y_N)\mathbb{1}_{Y-Y_N\geq 1})\\ &\leq \mathbb{E}(n\mathbb{1}_{Y-Y_N\geq 1}))\\ &=n\mathbb{P} (Y-Y_N\geq 1) \\ &\leq n\mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^n (X_i\geq N+1)\right)\\ &\leq n \sum_{i=1}^n\mathbb{P}(X_i\geq N+1)\\&= n^2 \mathbb{P}(X_1 \geq N+1)\end{align}\]
    Donc, puisque $\mathbb{P}(X_1 \geq N+1)\xrightarrow[N\rightarrow +\infty]{} 0$, on conclut que $\mathbb{E}(Y_N)\xrightarrow[N\rightarrow +\infty]{} \mathbb{E}(Y)$, ce qui est le résultat que tu voulais.
    PS. Peux-tu donner un énoncé complet, voire l'origine de l'exercice ?
  • dedekind93
    dedekind93
    Merci et bravo bisam, je n'avais pas pensé à estimer ainsi "la moyenne des grandes valeurs de $Y$".
    Pour ce qui est de l'origine, c'est en flânant sur notre site favori que j'ai retrouvé : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2059818/cardinal-dun-ensemble-aleatoire#latest et https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/1605932/un-probleme-de-cardinal#latest 
    Bonne fin de journée !
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