somme trigo

bonsoir,

il faut voir que $ \cos(kx)=Re(e^{ikx}) $.
tu as donc $ S = Re( 1 + e^{2ix} + e^{i4x} + ... + e^{i2nx} )$.
Or $ 1 + e^{2ix} + e^{i4x} + ... + e^{i2nx} = 1 + e^{2ix} + (e^{2ix})^2 + ... + (e^{2ix})^n $.
On reconnait la somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique de raison $ e^{2ix} $.
Si $ x \in \pi\Z $, la somme fait n + 1, et S=n+1.
Si $ x \not\in \pi\Z $, la somme fait $ \frac{e^{i2(n+1)x} - 1}{e^{2ix} - 1} $.

En mettant en facteur $ e^{i(n+1)x} $ au numérateur, et $ e^{ix} $ au dénominateur, on obtient $ e^{inx} \frac{\sin{(n+1)x}{\sin(x)} $.

il ne reste plus qu'a prendre la partie reelle, ce qui fait $ S = \cos(nx)\frac{\sin{(n+1)x}{\sin(x)} $.

voila, sauf etourderie ca doit etre ca, il faut surement utiliser des formules trigo pour obtenir le resultat que tu proposes a partir de celui ci.
bonne soiree

Bonsoir
D'accord je ne sais pas où cela va mener, mais ça a l'air de fonctionner.


$\displaystyle\frac{1-e^{2i(n+1)x}}{1-e{2ix}}=\frac{1-e^{2i(n+1)x}}{2sinxe^{i(\pi+\frac{\pi}{2}+x)}}}$

Bonsoir
Schwartz-gauss

Bonsoir

Il faut voir que $ \cos(kx)=Re(e^{ikx}) $.
Tu as donc $ S = Re( 1 + e^{2ix} + e^{i4x} + \ldots + e^{i2nx} )$.
Or $ 1 + e^{2ix} + e^{i4x} + \ldots + e^{i2nx} = 1 + e^{2ix} + (e^{2ix})^2 + \ldots + (e^{2ix})^n $.
On reconnaît la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $ e^{2ix} $.
Si $ x \in \pi\Z $, la somme fait $n + 1$, et $S=n+1$.
Si $ x \not\in \pi\Z $, la somme fait $ \frac{e^{i2(n+1)x} - 1}{e^{2ix} - 1} $.

En mettant en facteur $ e^{i(n+1)x} $ au numérateur, et $ e^{ix} $ au dénominateur, on obtient $ e^{inx} \frac{\sin{(n+1)x}}{\sin(x)} $.

Il ne reste plus qu'à prendre la partie réelle, ce qui fait $ S = \cos(nx)\frac{\sin{(n+1)x}}{\sin(x)} $.

Voilà, sauf étourderie ça doit être ça, il faut sûrement utiliser des formules trigo pour obtenir le résultat que tu proposes à partir de celui ci.
Bonne soirée