Espérance et norme euclidienne
Bonjour,
N'ayant pas fait de probabilité depuis longtemps, cet exercice m'intéresse, mais je bloque sur la question $1.a$.
N'ayant pas fait de probabilité depuis longtemps, cet exercice m'intéresse, mais je bloque sur la question $1.a$.
Réponses
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Oshine, pour le coup va falloir relire le cours !
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Oui. Mieux vaut faire ce que l’on ne connaît pas quand on échoue sur ce que l’on dit « connaître ».C’est étonnant d’ailleurs d’échouer sur la première question d’un truc qu’on ne connaît pas.
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Bonjour,
https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_probabilité_marginale#:~:text=En théorie des probabilités et,d'une de ses composantes.
Applique le premier exemple pour la question 1.a -
@Barjovrille franchement le cours de wiki n'est pas clair mais ça m'a permis de savoir quoi réviser, les lois marginales.
@noobey oui je vais relire sérieusement le cours de MPSI sur les couples de variables aléatoires et lois marginales, j'avais complètement oublié, ça tombe rarement dans les exercices donc je n'ai pas relu ça depuis plus d'un an.
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Ah mais tu as l'intention de faire agreg docteur 2022 en fait.
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Pour la question 1.a), il est important d'avoir remarqué que l'application $y\mapsto -y$ est une bijection de $\Z$ dans lui-même.Bon, mais surtout : formule des probabilités totales avec le système complet d'évènements $((Y=y))_{y\in\Z}$.
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Merci. Je viens de réviser un peu, cette formule est directement dans le cours de MPSI.
On a $P(X=-x)= \displaystyle\sum_{y \in \Z} P ( \{ X= -x \} \cap \{ Y=y \} ) $. De part la bijection $\phi : \Z \longrightarrow \Z \\ y \mapsto -y$ on peut écrire :
$P(X=-x)= \displaystyle\sum_{y \in \Z} P ( \{ X= -x \} \cap \{ Y=-y \} ) $. Or $P ((X,Y)=(x,y))= P( (X,Y)=(-x,-y))$ et comme $P((X,Y)=(x,y))=P( \{ X=x \} \cap \{ Y=y \})$ on en déduit finalement :
$\boxed{P(X=-x)= \displaystyle\sum_{y \in \Z} P ( \{ X= x \} \cap \{ Y=y \} ) =P(X=x) }$
Par symétrie entre $X$ et $Y$ on montre de même que : $\boxed{P(Y=-y)= P(Y=y) }$.
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Tu ne peux pas te contenter du cours de MPSI pour cet exercice.
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Il faut des connaissances de quel niveau ?
Les questions 1.b et 2 m'ont l'air de niveau maths sup. -
Le programme de sup se concentre sur les univers finis. Le programme de spé étend les résultats au cas dénombrable, le cours de L3 aux variables continues. Ici, $\mathbb{Z}$ étant dénombrable, il s'agit du cours de spé.
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Tout l'exercice sort du cadre de ce qui est vu en MPSI car les MPSI ne voient que les variables aléatoires finies !Il faut donc le programme de 2ème année pour savoir comment on définit les probabilités, comment on définit les variables aléatoires discrètes non finies, etc.Ceci étant posé, la question 1.b) ne pose aucun problème : c'est presque une question de cours.La question 2 est faisable sans difficulté si on admet le principe de "transfert de l'égalité en loi" qui stipule que si deux variables aléatoires $X$ et $Y$ à valeurs dans un ensemble $E$ suivent la même loi et si $f$ est une fonction définie sur $E$ alors $f(X)$ et $f(Y)$ suivent la même loi également.
Dans le cadre de cet exercice, ce n'est qu'un cas particulier de l'associativité des familles sommables, qui est désormais à la fin du programme de 1ère année, et je pense qu'en le tournant proprement, on peut même s'en sortir avec uniquement des propriétés des séries absolument convergentes, ce qui permet effectivement de rester dans le cadre du programme de PCSI.Mais dans tous les cas, et quelque soient les résultats que tu serais prêt à admettre, il te faudrait plusieurs questions intermédiaires pour réussir seul la question 2 de cet exercice (si tant est que tu saches ce que signifie "réussir seul un exercice").En revanche, comme je l'ai dit plus haut, tu devrais savoir faire la question 1.b) : il y a deux résultats similaires dans la partie commune aux cours de probas de MP, PSI et PC. -
Merci pour les infos, c'est vrai que j'ai fait une pause dans le cours pour chercher quelques exos et faire des maths.
J'ai parcouru de loin le cours de MP de proba très rapidement par curiosité et ça me semble similaire au cours de MPSI, et j'ai trouvé un résultat intéressant pour la question $1.b$.
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles discrètes telles que $|X| \leq Y$. Si $Y$ est d'espérance finie, alors $X$ est d'espérance finie.
Mais je ne vois pas ici qui est le $Y$...
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Oui je vais bientôt le trouver.
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Le cours de MP généralise le cours de MPSI, certes, mais il est tout de même beaucoup plus complet... Il faut y gérer des convergences de sommes, des Fubini, des séries de fonctions (fonctions génératrice et caractéristique) : ce cours mêle donc combinatoire et analyse. Sans parler de la notion de tribu qui n'est pas très utile en MPSI.
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La notion de tribu n'est guère utile non plus en MP, à vrai dire... Il n'y a aucun résultat concernant les tribus, juste leur définition, qu'il est difficile de justifier en restant dans le cadre du programme !En revanche, la notion de $\sigma$-additivité semble être beaucoup moins intuitive qu'il n'y parait pour des élèves n'ayant guère rencontré l'infini, et encore moins la dénombrabilité.
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Il y a quelques exercices où les tribus pointent le bout de leur nez, comme le problème du collectionneur qui demande d'utiliser la tribu engendrée par les cylindres. Mais j'accorde que ce n'est pas LA notion centrale du cours de MP...
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Euh ? En MP ? Tu peux préciser ?[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Oh la la.... J'avais repris une phrase. Vous la remplacez par une autre.... Il faut modérer avec modération! -
Je parle de ce problème du collectionneur : https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_du_collectionneur_de_vignettesLa question est de calculer le nombre moyen de paquets de céréales à acheter pour avoir tous les types de vignettes (au nombre de $N$).Une bonne modélisation (en tout cas, celle que j'ai vu en spé) est de prendre comme univers $\Omega = [[1,N]]^{\mathbb{N}}$ muni de la tribu engendrée par les cylindres, ie la plus petite tribu rendant mesurable les projections $\pi_i : \Omega \rightarrow [[1,N]]$ pour $i \in \mathbb{N}$.Cela te permet ensuite de définir une proba $\mathbb{P}$ sur $\Omega$ : il suffit simplement de définir $\mathbb{P}(\pi_i = k)$ pour $i \in \mathbb{N}$ et $k \in [[1,N]]$.De manière générale, tous les exercices de probas où apparaissent une infinité d'expériences t'obligent plus ou moins à prendre le produit cartésien des issues et donc à considérer cette tribu.
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J'ai avancé grâce à l'indication de @jmf .
On a $\forall x \in \R, \ |x| \leq x^2+1$.Donc $|X| \leq X^2+1 \leq X^2+Y^2+1$.Or, $X^2+Y^2$ est d'espérance finie et $1$ aussi donc $|X|$ est d'espérance finie.Le raisonnement est identique pour $|Y|$.
D'après le théorème de transfert : $E(|X|)= \displaystyle\sum_{x \in \Z} |x| P(X=x)= \sum_{x \in \Z^{+}} x P(X=x) - \sum_{x \in \Z^{-}} x P(X=x)$
Donc $E(|X|)= 2 \displaystyle\sum_{x \in \Z^{+}} x P(X=x)$ je ne vois pas comment simplifier plus cette expression. -
Sauf que la question n'est pas de calculer $\mathbb{E}(|X|)$. Dommage. Encore une question que tu aurais raté le jour-j faute de savoir lire (ou qui t'aurait fait perdre du temps bêtement). Fort heureusement, il est peu probable que tu passes un jour l'agreg docteur (qui demande de savoir lire du coup...)
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@Heuristique
Je connais bien sûr le problème du collectionneur. Mais en prépa, y compris MP, on ne se prend par le chou (sauf quelques profs qui préfèrent se faire plaisir que d'aider leurs élèves à avancer) avec ce genre de subtilités. En tout cas c'est la première fois que j'entends parler de cette mystérieuse tribu.
Deux phrases extraites du programme MP:
--- la notion de tribu n’appelle aucun développement théorique
--- la construction d’espaces probabilisés n’est pas un objectif du programme
Ci-joint un petit sujet (sans prétention) donné à mes étudiants (Psi*). L'intérêt de définir une tribu ne m'avait même pas effleuré l'esprit.
En général, on ajoute dans l'en-tête du sujet qu'on admet l'existence d'un espace probabilisé idoine, et ça va bien. -
J’aime bien ce problème classique du collectionneur.Il utilise une série divergente, la série harmonique, dans un problème « concret » ainsi que la somme de la série des $1/n^2$.
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Ok merci j'ai mal lu en effet.
$E(X)=\displaystyle\sum_{x \in \Z} x P(X=x)= \displaystyle\sum_{x \in \Z^{-}} x P(X=x) + \displaystyle\sum_{x \in \Z^{+}} x P(X=x) $
Mais $\forall x \in \Z \ P(X=x)=P(X=-x)$ donc $E(X)= \displaystyle\sum_{x \in \Z^{-}} x P(X= -x) +\displaystyle\sum_{x \in \Z^{+}} x P(X=x) $
On effectue le changement d'indice $y=-x$ dans la somme de gauche.
Donc $E(X)=\displaystyle\sum_{y \in \Z^{+}} (-y) P(X=y) +\displaystyle\sum_{x \in \Z^{+}} x P(X=x) $
Finalement $\boxed{E(X)=E(Y)=0}$
Pour Q2 le principe de transfert de l'égalité en loi dont parle @bisam n'est pas dans le cours de MP, j'ai regardé... Je ne vois pas comment démarrer la question $2$. -
C’est drôle.Même là, je ne trouve pas clair du tout le « finalement ». On voit des calculs laborieux (et ça ne me gêne pas !) puis un « finalement » qui ressemble à un « hop hop hop voilà c’est bon ».C’est très personnel. Ce n’est pas une énième fronde envers toi, OShine. Inutile d’ailleurs de rééditer (sauf coquille).Je trouve la rédaction hétérogène et c’est certainement on ne peut plus subjectif.
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Dans le nouveau programme de prépa (MP, PSI, PC, peu importe), il est désormais écrit : "Si $X\sim Y$, alors $f(X)\sim f(Y)$", et il est précisé à la ligne au-dessus, dans la colonne de droite que $X\sim Y$ signifie que $X$ et $Y$ ont la même loi. C'est exactement le théorème que j'annonçais plus haut. Simplement, il n'est pas nommé dans le programme.
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@jmf Pour le coup, mes profs de prépa insistaient énormément sur la modélisation, surtout en sup (car elle est plus simple sur les univers finis).En première année, cela me semble essentiel de définir correctement l'univers : sinon, on fait du chamanisme, pas des maths.En deuxième année, certaines modélisations (comme celle du collectionneur) demandent des outils plus complexes comme la notion de tribu engendrée. Mon prof les exposait à chaque fois pour faire les choses proprement mais ne nous a jamais rien demandé dessus en colle ou en DS, sauf aux meilleurs.J'ai remarqué en faisant des colles que certains élèves de prépa ne définissaient jamais l'univers et la proba (en sup, sur des univers simples), ce que je trouve très dommage car les calculs qu'ils exposent ensuite n'ont pas de définition...
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@Heuristique : En théorie, la partie "modélisation" est complètement hors du programme de prépa. On admet l'existence d'univers, de tribus et de probabilités grâce auxquels on peut faire des calculs.La construction d'espaces probabilisés n'est pas un objectif du programme.L'univers sur lequel est définie une variable aléatoire est spécifié comme n'étant en général pas spécifié (sauf chez les MP).La manipulation de tribus n'est pas un objectif du programme.Bref, tout tourne autour des variables aléatoires discrètes, en admettant que l'on puisse les construire.
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@bisam ok merci. J'étudie sur un livre de 2019 de MP et ce résultat ne figure pas.
Je peux le démontrer. Si $X \sim Y$ alors $P( f(X)=k)= P( X \in f^{-1} ( \{k \} ) =P (Y \in f^{-1} ( \{k \} )= P( f(Y)=k)$.
Mais je ne vois pas comment appliquer ce résultat ici, on sait juste que $\forall n \in \N \ (X_n,Y_n) \sim (X,Y)$.
@jmf
Je n'ai pas réussi à trouver de variable aléatoire d'espérance infinie.
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Rademacher ?[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
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Va au plus dénombrable ou absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue ?OShine a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/user/browse&keywords=88.124.117.131[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
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@bisam Donc, en théorie, si on parle à un élève de prépa d'un lancer de dé, il n'est pas censé trouver l'univers et la proba ? Cela me semble affolant... (je ne parle pas de la partie sur les tribus qui est technique et peut être repoussée à plus tard, bien de la modélisation sur des univers finis). La modélisation est l'étape la plus fondamentale des probas... C'est ce qui fait le lien entre le monde mathématique et le monde réel.Et, de même, le prof de physique ne parle jamais de PFD et de forces ? Il donne l'équation du mouvement et on l'étudie mathématiquement ?
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Loi de Cauchy, tu connais ?
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Admettre l'existence de suites de variables aléatoires iid (ou pas suivant le contexte) suffit largement pour modéliser l'immense majorité des problèmes de probas discrètes posés dans le langage courant.Heuristique a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/user/browse&keywords=89.159.236.243[Inutile de recopier l’antépénultième message. Un lien suffit. AD]
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Je ne vois pas comment utiliser l'indication de @bisam qui est $f$ ici ?
On a $S_n= \displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i ,Y_i)= ( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n Y_i)$.
Soit $x \in \Z$.
On doit montrer que $P( \displaystyle\sum_{i=1}^n X_i =x)=P( \sum_{i=1}^n X_i = -x)$ et $P( \displaystyle\sum_{i=1}^n Y_i =x)=P( \sum_{i=1}^n Y_i = -x)$. -
C'était juste un test.
Si je te dis soit $X:\Omega\to\mathbb{Z}$ une variable aléatoire symétrique ($P(X=x)=P(X=-x)$ pour tout $x$) et si je te dis qu'elle a une espérance et que cette espérance est nulle car $\displaystyle\sum_{k\in\Z}k P(Z=k)=0$ (à cause de la symétrie, justement), est-ce que tu es d'accord? -
Bah oui c'est ce que j'ai démontré à la question 1.b .
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Sacré @OShine
ça me rappelle quand j'étais de jury d'oral, quand je posais une question au candidat (d'une voix bienveillante, mais avec cette petite lueur gourmande dans le regard qui aurait dû susciter sa méfiance), et en même temps je me disais "pourvu qu'il ne tombe pas dans le piège"... Et voilà.
Soit $X:\Omega\to\mathbb{Z}$ de loi donnée par $P(X=n)=P(X=-n)=\dfrac{1}{2n(n+1)}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, et $P(X=0)=0$.
1) est-ce que ça définit bien une loi?
2) est-ce que la variable $X$ est symétrique?
3) quelle est l'espérance de $X$? -
1) $P$ est une application de $\Z$ dans $[0,1]$.
Il faut vérifier $P(\Omega)=1$ (je ne sais pas comment faire) et $P(A \cup B )=P(A)+P(B)$ si $A$ et $B$ sont incompatibles (je ne sais pas comment faire).
Je n'ai jamais fait d'exercice où on demande de montrer que ça définit une loi.
2) Oui elle est symétrique.
3) L'espérance est nulle à cause de la symétrie. -
De profundis clamavi ad te, Domine
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On en perd son latin...
Pas encore : Si iniquitates observaveris, Domine, Domine, quis sustinebit? -
La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs. -
Bon après ta question est déjà un piège dans sa formulation. On pourrait lire Si A alors si B alors C.jmf a dit :C'était juste un test.
Si je te dis soit $X:\Omega\to\mathbb{Z}$ une variable aléatoire symétrique ($P(X=x)=P(X=-x)$ pour tout $x$) et si je te dis qu'elle a une espérance et que cette espérance est nulle car $\displaystyle\sum_{k\in\Z}k P(Z=k)=0$ (à cause de la symétrie, justement), est-ce que tu es d'accord?
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@jmf je ne comprends pas où est le piège...
Si $P(X=n)= P(X=-n)$ alors $E(X)=\displaystyle\sum_{n \in \Z^{-}} n P(X=n) + \displaystyle\sum_{n \in \Z^{+}} n P(X=n) $
Donc $E(X)=\displaystyle\sum_{n \in \Z^{-}} n P(X=n) - \displaystyle\sum_{-n \in \Z^{+}} n P(X=-n)$
$E(X)=\displaystyle\sum_{n \in \Z^{-}} n P(X=n) - \displaystyle\sum_{n \in \Z^{-}} n P(X=n)=0$
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Bel exemple de situation où le plaisir du LaTeX empêche la réflexion mathématique ... dès la première ligne il y a le problème !!
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@OShine
Je réponds dans l détail.Soit $X:\Omega\to\mathbb{Z}$ de loi donnée par $P(X=n)=P(X=-n)=\dfrac{1}{2n(n+1)}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, et $P(X=0)=0$.
1) est-ce que ça définit bien une loi?
2) est-ce que la variable $X$ est symétrique?
3) quelle est l'espérance de $X$?
1) C'une loi car les $P(X=\pm n)\ge0$ et $\displaystyle\sum_{m\in\mathbb{Z}}P(X=m)=\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}\dfrac{1}{n(n+1)}=1$.
2) la var $X$ est symétrique par construction.
3) pour que $X$ possède une espérance il faudrait que $\displaystyle\sum_{m\in\mathbb{Z}}|m|P(X=m)$ converge (noter les valeurs absolues).
or $|m|P(X=m)=\dfrac{1}{|m|+1}.$
Donc revenir à la définition de l'existence de l'espérance. ça passe toujours par une convergence absolue (famille sommable).
Donc dire que $X$ possède une espérance, c'est dire que $|X|$ en possède une, c'est pareil (après on a bien sûr $|E(X)|\le E(|X|)$.
C'est pour ça que ton sujet on demande de vérifier que $|X|$ possède une espérance (et qu'on a besoin de $|X|\le 1+X^2+Y^2$).
Comme $X$ est symétrique, cette espérance est nulle.
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