Calcul d'une application évaluée en un polynôme

topalg
topalg
Modifié (April 2022) dans Analyse
Bonsoir,
J'ai une question relative à un calcul.

Dans le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E= \mathbb{R}[X] $ des polynômes à coefficients réels, on considère la norme
$$\begin{array}{cccl}
||\cdot||_{\infty}:&E &\longrightarrow&\mathbb{R_{+}}\\&\sum_{k \in \mathbb{N}} a_{k}X^{k}&\longmapsto&\max\{|a_{k}| \mid k \in \mathbb{N}\}.\end{array}$$
On considère la dérivation $\begin{array}[t]{cccl}D:&(E,||\cdot||_{\infty}) &\longrightarrow& (E,||\cdot||_{\infty})\\&\sum_{k \in \mathbb{N}}a_{k}X^{k}&\longmapsto&\sum_{k \in \mathbb{N}} (k+1)a_{k+1}X^{k}.\end{array}$
Je cherche à calculer $D(X^{n})$. Moi, j'ai trouvé que $D(X^{n})=0$. La correction a trouvé que $D(X^{n})=nX^{n-1}$.
Est-ce que vous pourriez me dire qui a raison d'une part et d'autre part s'il s'avère que j'ai tort est-ce que vous pourriez me dire pourquoi j'ai tort ?
Merci d'avance.

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Comment fais-tu pour trouver 0? La dérivée du polynôme $X^n$ est $n X^{n-1}$ par définition.
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (April 2022)
    Bonjour.
    $X^n =\sum_{k \in \mathbb{N}}a_{k}X^{k}$ avec tous les $a_k$ nuls sauf $a_n$. Si $n>0$, c'est un $a_{k+1}$ pour $k=n-1$; donc dans $\sum_{k \in \mathbb{N}} (k+1)a_{k+1}X^{k}$ il y a un terme non nul (à priori), qui est $(k+1)a_{k+1}X^{k}$ pour $k=n-1$.
    Je te laisse voir pourquoi la formule marche aussi pour n=0.
    Cordialement.
    NB : dire "je trouve 0" sans expliquer comment tu le trouves n'est pas très sérieux. Ça montre surtout que tu n'as pas appliqué la règle de l'énoncé.
  • Math Coss
    Math Coss
    Modifié (April 2022)
    Au passage la norme n'intervient pas du tout (pour l'instant ?).
  • topalg
    topalg
    Bonjour, je m'excuse de ne pas avoir expliqué comment j'ai trouvé 0, c'est juste que pour moi c'était évident. J'avais trouvé 0 car pour moi $D(X^{n})$= $(n+1)a_{n+1}X^{n} = 0$ car pour moi $a_{n+1}=0$.
  • topalg
    topalg
    Merci gerard0 pour ton explication mais il me semble que tu as fait une erreur : tu n'aurais pas du écrire plutôt " Si n>0, c'est un (k+1) pour k=n-1" ?
  • bisam
    bisam
    Modifié (April 2022)
    @topalg : C'est vraiment curieux, ta question. Clairement, puisque tu parles d'espaces vectoriels, tu es au moins en première année après le Bac. Pourtant, tu sembles ne pas savoir ce qu'est la dérivation... alors qu'elle est vue au lycée.
    Admettons que les objets formels que sont les polynômes sont légèrement plus abstraits que les fonctions de $\R$ dans $\R$ mais tout a été fait pour que l'idée intuitive soit respectée...
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (April 2022)
    Non, non,  je ne parlais pas de $n$ mais de $a_n$. Relis.
    Et donc tu n'avais pas appliqué la définition telle qu'elle est écrite, mais fait comme s'il n'y avait pas de somme !! Car dans $X^n$, le $a_{n+1}$ est nul, mais la définition ne parle pas de $a_{n+1}$, seulement de tous les $a_{k+1}$.
    Cordialement.
  • topalg
    topalg
    bisam je suis juste un très très mauvais étudiant de mathématiques c'est tout. 
  • topalg
    topalg
    Par ailleurs quand je fais un exo de mathématiques, je n'arrive pas à utiliser mon intuition.
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (April 2022)
    Tu peux t'améliorer en faisant des essais au brouillon (on n'est pas obligé de tout savoir faire directement). Par exemple, pour ton exercice, faire des essais avec des polynômes connus, $1+2X+5X^3$ par exemple, puis avec $X$, $X^2$, pour voir ce qui se passe.
    Cordialement.
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