Distributivité dans un espace de fonctions

un_kiwi
Modifié (April 2022) dans Algèbre
Bonjour, il y a quelque chose que je ne comprends pas. Dans un exercice, on note $E$ l'ensemble des fonctions définies sur $\mathbb R$ et à valeurs dans $\mathbb R$. À un moment donné on demande de vérifier que la composition est distributive par rapport à l'addition, c'est-à-dire que pour toutes fonctions $f$, $g$ et $h$ dans $E$, $f\circ (g+h) = f\circ g +f\circ h$. Or, pour tout $x$ appartenant à $\mathbb R$
$$[f\circ (g+h)](x)=f[(g+h)(x)] = f[g(x)+h(x)] \quad {\rm et}\quad (f\circ g + f\circ h)(x) = (f\circ g )(x) + (f\circ h)(x) = f[g(x)] + f[h(x)].$$
Mais je ne comprends pas pourquoi on devrait avoir $f[g(x)+h(x)] = f[g(x)] + f[h(x)]$ (ne faudrait-il pas que $f$ soit linéaire ?).
Si je prends par exemple, $f(x)=x^2$, $g(x)=x$ et $h(x)=1$, alors pour tout $x$ appartenant à $\mathbb R$
$$[f\circ (g+h)](x) = (x+1)^2 \qquad {\rm et}\qquad (f\circ g + f\circ h)(x) = x^2+1.$$
Soit il y a une erreur dans l'exercice ou un oubli, soit il y a quelque chose que je ne comprends pas.
Merci d'avance !

Réponses

  • Il y a toujours distributivité à droite de la composition sur l'addition par définition des opérations sur les fonctions.
    En revanche, il y a effectivement rarement distributivité à gauche... mais c'est en particulier le cas sur l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel.

    Peux-tu fournir l'énoncé complet ?
  • Il s'agit de la partie C


  • L'énoncé est faux. 
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.