Théorème
Bonjour ici ! Je suis étudiant en première année de licence mathématiques. J'aime les mathématiques c'est une passion pour moi. Les problèmes du millénaires m'ont toujours fasciné.
Je fais face à des problèmes mathématiques, de raisonnement depuis que j'ai eu mon Bac S. Au lycée on ne nous a pas appris à faire des raisonnement car nous nous sommes contentés d'admettre les formules ainsi que les propriétés, théorème comme tel sans comprendre leurs démonstration et leurs utilités. Mon objectif principal c'est de comprendre les théorèmes mathématiques ainsi que leurs démonstrations. Je comprends bien un théorème et je l'apprends aussi de façon mécanique mais au niveau de la démonstration ça me dépasse et je me sens perdu en chemin. Pouvez-vous me donner des astuces, méthodes, conseils à appliquer pour l'acquisition et la démonstration des théorèmes mathématiques ? Y a-t-il des matheux qui ont fait face à ce problème et qui s'en sont sortis indemnes, pouvez-vous m'aider ? Je passe plus de temps sur un théorème, je suis autodidacte et je suis aussi des cours particuliers. Merci de bien vouloir m'aider car j'aime tant les mathématiques.
Je fais face à des problèmes mathématiques, de raisonnement depuis que j'ai eu mon Bac S. Au lycée on ne nous a pas appris à faire des raisonnement car nous nous sommes contentés d'admettre les formules ainsi que les propriétés, théorème comme tel sans comprendre leurs démonstration et leurs utilités. Mon objectif principal c'est de comprendre les théorèmes mathématiques ainsi que leurs démonstrations. Je comprends bien un théorème et je l'apprends aussi de façon mécanique mais au niveau de la démonstration ça me dépasse et je me sens perdu en chemin. Pouvez-vous me donner des astuces, méthodes, conseils à appliquer pour l'acquisition et la démonstration des théorèmes mathématiques ? Y a-t-il des matheux qui ont fait face à ce problème et qui s'en sont sortis indemnes, pouvez-vous m'aider ? Je passe plus de temps sur un théorème, je suis autodidacte et je suis aussi des cours particuliers. Merci de bien vouloir m'aider car j'aime tant les mathématiques.
« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
Réponses
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BonjourIl est dommage d'avoir baissé à ce point le niveau de l'enseignement des mathématiques. En fait c'est un massacre.Ceci étant dit, il ne faut pas te décourager. Dis-toi bien que le travail paiera avec le temps.Tu as raison de chercher à comprendre et retenir les théorèmes, c'est même indispensable car ils sont souvent de bons modèles pour résoudre d'autres problèmes.Si parfois la compréhension d'un passage est trop difficile, laisse tomber sur le moment.À mon avis les progrès se font avec la multiplication d'exercices.Tu peux aussi utiliser le forum où tu trouveras toujours quelqu'un pour obtenir une indication et te faire gagner un peu de temps.Mais dans tous les cas les progrès ne viendront que par l'exercice personnel.
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Bonjour Amadou.Voici mon opinion.Pour comprendre les mathématiques, il faut faire des exercices. Ce sont eux qui apportent la familiarité avec les concepts qui permet l'assimilation de ce qu'on apprend. Les exercices calculatoires sont importants dans ce sens. Refaire une démonstration en exercice est également très formateur.Démontrer c'est se convaincre successivement de la véracité de chaque étape.Cordialement
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Bonjour bd2017, merci beaucoup pour tes conseils car ça m'aide beaucoup. Je m'étais donné comme objectif de travailler beaucoup sur les théorèmes mais c'est trop pénibles. Comme tu l'as si bien je me contenterai de multiplier beaucoup les exercices et faire les démonstrations facile à comprendre et utiles.
Merci beaucoup.
« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. » -
Salut Mathurin. Oui tout à fait les démonstrations sont également très formatrices [pour les] exercices. Car en Sup on nous apprend à construire des objets mathématiques qui sont nouveaux pour nous. Je vois dans des exercices que j'ai l'impression qu'ils n'ont rien démontré mais on me dit que c'est une démonstration.
Merci beaucoup pour les conseils et l'aide.« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. » -
Bonjour Amadou."Je vois dans des exercices que j'ai l'impression qu'ils n'ont rien démontré" Cela arrive souvent quand on ne connaît pas correctement les règles et théorèmes évoqués. On a l'impression de lire des formules magiques.Peux-tu nous copier ou nous scanner une de ces démonstrations où tu ne vois rien de prouvé ?Cordialement.
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Pour comprendre une démonstration, il faut d'une part savoir quel en est le point de départ, c'est-à-dire quelles sont les hypothèses/données mais surtout savoir ce que l'on est autorisé à utiliser pour cette démonstration, c'est-à-dire ce qui est censé déjà être su/démontré et donc utilisable.Dans le cadre du parcours scolaire c'est toujours ce second point qui est laissé extrêmement flou, parfois volontairement, parfois pas. Disons que la base c'est de regarder le programme de l'année précédente pour mieux cerner ce qui est considéré comme utilisable.
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic -
gerard0, voici un exercice ou j'ai l'impression qu'il n'ont rien démontré car vu de près l'énoncé on peut directement faire une déduction que la somme de l'intégrale de f et g est égale à zéro. Mais démontré une égale reviens à faire des inclunaisons dans les deux sens (ce qui n'est pas possible ici) ou faire recours à des inégalités dans les les deux sens. Sinon moi j'aurais voulu qu'on raisonnement ainsi vu (le si et seulement si). Supposons f une fonction continue et intégration et montrons que g intégrable.
Supposons aussi f inférieur ou égal à g. Pour conclure que l'intégrale de f est inférieure ou égale à g. De même aussi pour g inférieur ou égal à f. Et déduire des deux pour donner une conclusion finale.
« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. » -
S'il vous plaît pour les explications de cette proposition veuillez me les expliquer avec des notions de la 1ere ou 2ieme licence. Je n'ai pas le niveau de master ou de licence 3. Merci« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
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La proposition a été compris mais au niveau de la démonstration, j'aimerais avant tout savoir si le epsilon 1 est un choix quelque, ou une condition bien déterminée. Pourquoi ce choix ? Ce qui me semble pénible c'est au niveau de b-a divisé par 3 et aussi le epsilon par 8.
« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. » -
Dans ta démonstration de l'exercice n°3, tu dis que démontrer une égalité revient à faire des inégalités dans les les deux sens.
Et tu traites le cas f<g, puis le cas f>g.
Non. f et g ne sont pas des nombres, mais des fonctions. Quand on a 2 fonctions f et g, on peut très bien avoir f<g sur un intervalle, et f>g sur un autre intervalle.
Quand on traite des nombres a et b, effectivement, il y a seulement 3 cas : a<b, a=b ou a>b
Mais quand on traite des fonctions f et g, ce n'est plus vrai.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Bonjour,si je puis me permettre dans mon cours de terminale S je démontre tout.Pour bien comprendre un théorème : Regarder à quelle question il répond. Quels sont les objets qu'il met en jeu ? Quelles sont ses hypothèses ? Quelle est sa conclusion ? Se donner des exemples, faire des exercices sur le théorème.
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Bonjour Amadou.Tu ne t'en sortiras pas avec des idées fausses comme "Mais démontré une égalité revient à faire des inclunaisons inclusions dans les deux sens (ce qui n'est pas possible ici) ou faire recours à des inégalités dans les les deux sens". D'ailleurs, dès le collège, tu as rencontré des preuves d'égalités faites simplement par un calcul, comme la preuve que (a+b)²=a²+2ab+b².Simplement, ici, tu n'as pas vraiment regardé comment les règles de base sont appliquées pour obtenir, par un calcul simple, le résultat voulu. Tu n'as pas voulu croire la preuve, non pas parce qu'elle est incorrecte, mais parce que tu attendais autre chose.Ton problème ne relève pas des maths, mais de la psychologie. Tant que tu n'accepteras pas de lire les preuves telles qu'elles sont, en vérifiant étape par étape que c'est bien l'application des règles de base, en te laissant guider par l'auteur, tu resteras devant comme une poule qui a trouvé un couteau.Ce problème, toi seul peux le régler (*). Bonne chance !Cordialement.(*) On a quelques intervenants qui se refusent à le régler. On les trouve généralement dans le sous-forum shtam.
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À la fin de l'exercice 3 il y a écrit : d'après la proposition ci-dessus...
Il faudrait peut-être regarder la proposition en question pour comprendre la résolution de l'exercice. Ce n'est pas la prop 20 que tu as postée en tout cas.
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Dans la démonstration de la proposition 20, le choix de $\varepsilon_1$ n'est pas expliqué, mais correspond aux contraintes qu'il va falloir respecter ensuite. Cherche toi-même au brouillon comment faire, comment choisir un sous-intervalle compact de $]a,b[$ pour pouvoir utiliser utilement l'hypothèse et tu tomberas sur ce genre de choix. Tu peux aussi justifier les calculs de la preuve (ce qui explique le 8).Cette technique de "découpage des $\varepsilon$ est une des techniques de base de l'analyse, on ne peut la maîtriser qu'en faisant des exercices sur ces notions de limites, et en essayant soi-même de construire les preuves des théorèmes.Une bonne pratique est aussi de supprimer une des hypothèses (par exemple ici "bornée") et chercher un contre exemple.Bon travail !
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Ah bonjour Gérard0.
Je vous comprends là vous avez tout à fait raison sur ce point (à propos des calculs rencontrés au collège ainsi qu'au lycée). C'est vrai que nous sommes habitués à des calculs basiques au collège, ainsi qu'au lycée des calculs pas trop ardus comparé à ceux de l'université et puis du coup il y a un grand saut de niveau.
Je n'en disconviens pas ce passage "D'ailleurs, dès le collège, tu as rencontré des preuves d'égalités faites simplement par un calcul, comme la preuve que (a+b)²=a²+2ab+b²." Mais je prends un exemple de calcul de limite fait en première année c'est-à-dire démontrer la limite suivante $ \lim_{x \to\ 2 } f(x)=4 $ avec $ f(x)=x^2 $. Mais il est évident qu'en remplacement $ x $ par $ 2 $ le tour est joué mais par contre on est censé passer par les définitions de la limite en choisissant un $ \epsilon $ positif pour démonter.
La aussi je suis du même avis que vous "... Tu n'as pas voulu croire la preuve, non pas parce qu'elle est incorrecte, mais parce que tu attendais autre chose. '' Je crois à ce qu'ils ont [écrit] mais j'ai l'impression qu'ils n'ont rien démontré car c'est évident que la réponse de la différence des intégrales est nulle $\int_{a}^b f-\int_{a}^b g=0$ ceci implique que $\int_{a}^b (f-g)=0$. Et l'intégrale de la fonction nulle est belle et bien une fonction en escalier. C'est même visible, et déductif en lisant l'énoncé.
Tandis que qu'en première année on nous a appris les différents types de méthodes de démonstration avec l'égalité, l'inclusion, l'équivalence... On fait une supposition....pour arriver au but.
''Tant que tu n'accepteras pas de lire les preuves telles qu'elles sont, en vérifiant étape par étape que c'est bien l'application des règles de base, en te laissant guider par l'auteur, tu resteras devant comme une poule qui a trouvé un couteau.Ce problème, toi seul peux le régler (*). Bonne chance !''Je vois merci beaucoup pour tes conseils et l'aide précieuse.« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. » -
raoul.S
La proposition ci-dessus dit que toute fonction continue sur un segment est intégrable au sens de Riemann sur ce segment.« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. » -
Amédé.Amédé a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2347364/#Comment_2347364[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Merci beaucoup pour tes méthodes précieuses. Car j'ai toujours cherché des problèmes à mon solution pour la bonne compréhension.
« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. » -
LourranComme $f,g$ sont des fonctions numérique, est-ce qu'on ne peut pas faire une supposition que $f≤g$ sur un tel intervalle et $f≥g$ sur un autre intervalle pour démontrer ?« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
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gerard0Je suis du tout bien déterminé pour la résolution de mon problème et la bonne compréhension des notions mathématiques. Je ne reculerai devant rien pour arriver à mes fins car les maths sont une passion pour moi.« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
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Tous vos conseils et méthodes seront les bienvenus !!!
Merci pour tout en avance.« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. » -
Amadou :Je crois à ce qu'ils ont écrit mais j'ai l'impression qu'ils n'ont rien démontré car c'est évident que la réponse de la différence des intégrales est nulle ...
Tu montres, en réécrivant ainsi la démonstration de façon incorrecte, que tu n'as pas compris la preuve, ni même l'enjeu. Le fait qu'on utilise des évidences intuitives te cache le problème traité. Par exemple tu dis que $f-g$ est nulle, ce qui est faux et tu parles de la différence des intégrales, alors que, à priori, il n'y a pas d'intégrale pour g, seulement pour f, avant d'avoir démontré que g est intégrable. Et c'est ce qu'il faut démontrer.
C'est normal que (tu trouves qu'ils ne démontrent rien si tu pars à la fois de la conclusion et des hypothèses !!
Le cœur de la preuve est que $h$ est intégrable. Pourquoi ?
Comme la preuve est rapide, réécris-la en deux implications (on sait que f et g sont égales sauf en un nombre fini de valeurs) :
Supposons $f$ intégrable. alors ... donc $g$ est intégrable.
Supposons $g$ intégrable. alors ... donc $f$ est intégrable.(bien évidemment, dans le cœur de la preuve, tu n'utilises que les hypothèses et les définitions et théorèmes connus à ce moment-là).Bon travail !
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Je ne crois pas. Je dirais plutôt que cette proposition dit que si deux fonctions $f$ et $g$ sont intégrables sur un intervalle alors leur somme est intégrable. D'ailleurs ça colle parfaitement avec l'exercice 3 ensuite.Amadou a dit :raoul.S
La proposition ci-dessus dit que toute fonction continue sur un segment est intégrable au sens de Riemann sur ce segment.
PS. sur ta première image on devine tout en haut la fin de la preuve de la proposition en question et on voit apparaître ce qui est probablement un truc du style $\int_a^b... = \int_a^b... +\int_a^b... $ -
Salut raoul.s
Je suis vraiment désolé, je n'ai pas fait attention car il y avait une autre proposition en dessous de la proposition que j'ai énoncé. Oui c'est ça il s'agit de la linéarité.
Prop: L'ensemble $ IR([a,b]) $ est un sous-espace vectoriel de $ F([a,b]) $ et l'application $ f\in IR([a,b])\mapsto\int_{a}^b f(x)\in IR $ est une forme linéaire sur $ IR([a,b]) $.« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. » -
Salut gerard0 !
Le cœur de la preuve est que $h$ est intégrable. Pourquoi ?
La fonction $\int_{a}^b h$ est bornée inférieurement, c'est-à-dire $\int_{a}^b h≥0$ et supérieurement $\int_{a}^b h≤0$ donc c'est une fonction en escalier.
« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. » -
Désolé, je ne comprends pas pourquoi tu écris ça. La fonction nulle est évidemment intégrable, mais f-g n'est pas nulle.
Encore une fois, tu ne lis pas la preuve, tu en as une idée préconçue. -
Gerard0Pour la démonstration .
Supposons $f$ intégrable et montrons $g$ intégrable.
Pour tout $\epsilon$ positif il existe des fonctions en escalier $\phi_\epsilon$ et $\psi_\epsilon $ tel que $\psi_\epsilon≤f≤\phi_\epsilon$ et $\int_{a}^{b} \phi_\epsilon - \psi_\epsilon ≤\epsilon$. Supposons $g≤f$ et posons $h≤f-g$ .Cette fonction $h$ est nul sauf en un nombre fini de point c'est donc une fonction en escalier et en remplaçant $f$ par sa valeur dans la définition ceci implique $\psi_\epsilon≤g+h≤\phi_\epsilon$ (car $f$ est supposé intégrale) donc $h+g$ est une fonction en intégrable si $\int_{a}^{b} f ≤ \int_{a}^{b} (h+g)= \int_{a}^{b} g$. Donc $g$ est intégrable $(1)$
Supposons g intégrable et montrons que f l'estPour tout $\epsilon$ positif il existe des fonctions en escalier $\phi_\epsilon$ et $\psi_\epsilon $ tel que $\psi_\epsilon≤g≤\phi_\epsilon$ et $\int_{a}^{b} \phi_\epsilon - \psi_\epsilon ≤\epsilon$. Supposons $g≥f$ et posons $k≥f-g$ .Cette fonction $k$ est nul sauf en un nombre fini de point c'est donc une fonction en escalier et en remplaçant $g$ par sa valeur dans la définition ceci implique $\psi_\epsilon≤f-k≤\phi_\epsilon$ (car $g$ est supposé intégrale) donc $f-k$ est une fonction en intégrable si $\int_{a}^{b} g ≥ \int_{a}^{b} (f-k)= \int_{a}^{b} f$. Donc $f$ est intégrable $(2)$
Remarque aucours de la démonstration $\int_{a}^{b} h=0$ et $\int_{a}^{b} k=0$.
De $(1)$ et $(2)$ j'en déduis que g est intégrable.
Toute les commentaires sont les bienvenus.
Merci à vous à l'avance.« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. » -
Je vois donc le choix du $\epsilon$ n'est pas pas expliqué. Je pense avoir saisi le truc d'après tes dire. Merci beaucoup gerard0.gerard0 a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2347396/#Comment_2347396[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. » -
Suite à ce message.Pourquoi supposer $g\le f$ ? De ce fait, il n'y a plus de démonstration ! $f$ et $g$ n'ont aucune raison d'être comparables. La suite est fortement douteuse (fonction $h$ non définie, $\psi_\epsilon≤g+h$ sort d'où ?).En fait, tu copies très mal la preuve de ton livre (le cœur de la preuve est que $f-g$ est en escaliers) en refaisant (mal) la démonstration du théorème précédent dans ton livre.Finalement, que cherches-tu ? A faire une preuve directe ? Alors il va falloir être plus strict, éviter les hypothèses auxiliaires et rédiger complétement les preuves.Dans un premier temps, comprendre vraiment la preuve du livre (c'est à dire être capable de la réécrire pour prouver à quelqu'un d'autre) serait une bonne première étape.Cordialement.
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Mais j'avais parlé de ça avant non ci dessous (*) la phrase. Une fonction est intégrable au sens de $R([a,b])$ si son intégrale inférieure est égal à son intégrale supérieure. Mais là comme h est une fonction nulle sauf en un nombre fini de points. Donc je me suis dit que $\int_{a}^b h≥0$ ou bien $\int_{a}^b h≤0$.gerard0 a dit :Désolé, je ne comprends pas pourquoi tu écris ça. La fonction nulle est évidemment intégrable, mais f-g n'est pas nulle.(*)
Et l'intégrale de la fonction nulle est belle et bien une fonction en escalier. C'est même visible, et déductif en lisant l'énoncé.« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. » -
Mais là j'aimerais avant tout savoir est ce qu'il y a une autre méthode (comme par exemple la supposition) pour la démonstration ? En entendant comme vous l'avez si bien dans un premier temps je me contenterai de comprendre la preuve du livre.gerard0 a dit :Finalement, que cherches-tu ? A faire une preuve directe ? Alors il va falloir être plus strict, éviter les hypothèses auxiliaires et rédiger complétement les preuves.Dans un premier temps, comprendre vraiment la preuve du livre (c'est à dire être capable de la réécrire pour prouver à quelqu'un d'autre) serait une bonne première étape.Cordialement.
Merci beaucoup« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. » -
Bonjour rimf84Merci beaucoup pour la suggestion du livre.« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
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"Mais là j'aimerais avant tout savoir est ce qu'il y a une autre méthode (comme par exemple la supposition) pour la démonstration ? " A priori oui, sans doute. Pour $f$ intégrable ==> $g$ intégrable, on peut en effet approcher $g$ par des fonctions en escalier construites à partir de celles qui approchent $f$ en tenant compte des cas où $f(x)\neq g(x)$. C'est un peu pénible à rédiger, mais ça se fait.Mais ça nécessite de bien maîtriser les outils d'analyse et de comprendre parfaitement ce qu'on fait. Tu n'en es pas là, pas même à maîtriser ce que tu écris. Par exemple "Et l'intégrale de la fonction nulle est belle et bien une fonction en escalier." !!! L'intégrale est un nombre. Donc pas du tout une fonction en escalier. C'est la fonction nulle qui est une fonction en escalier. Et je te faisais remarquer non pas que la fonction nulle n'est pas en escalier, mais que ça n'apportait rien à une éventuelle preuve. Il n'y avait pas de fonction nulle en cause !!J'ai surtout l'impression que tu ne comprends pas bien le français, ce qui n'est pas fondamental et que tu interprètes nos explications avec des a-priori au lieu de bien les lire. Ce qui bloque tout !Cordialement..
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